funciones

PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2010

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
TEMA 4: FUNCIONES

• Junio, Ejercicio 2, Opción A
• Junio, Ejercicio 2, Opción B
• Reserva 1, Ejercicio 2, Opción A
• Reserva 1, Ejercicio 2, Opción B
• Reserva 2 Ejercicio 2, Opción A
• Reserva 2 Ejercicio 2, Opción B
• Reserva 3 Ejercicio 2, Opción A
• Reserva 3 Ejercicio 2, Opción B
•Reserva 4 Ejercicio 2, Opción A
• Reserva 4 Ejercicio 2, Opción B
• Reserva 1, Ejercicio 2, Opción A
• Reserva 1, Ejercicio 2, Opción B
• Septiembre, Ejercicio 2, Opción A
• Septiembre, Ejercicio 2, Opción B

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13
x . Calcule:
3
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) Las coordenadas de sus extremos relativos.
c) El punto de la gráfica enel que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4.
SOCIALES II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A

Sea la función f ( x ) = 2 x 2 −

RESOLUCIÓN

a y b) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:
f '( x) = 4 x − x 2 = 0 ⇒ x = 0 ; x = 4

(− ∞, 0)

(0, 4)

Signo f ' ( x)

―

+

―

Función f ( x)

D

C

D

↓

(4, ∞)

↓

⎛ 32 ⎞
mínimo(0,0) Máximo ⎜ 4, ⎟
⎝ 3⎠

⎛ 32 ⎞
La función es creciente en (0, 4) y decreciente en (− ∞, 0) ∪ (4, ∞) . Tiene un máximo en ⎜ 4, ⎟ y
⎝ 3⎠
un mínimo en (0,0).
c) Igualamos la derivada a 4.
f '( x) = 4 x − x 2 = 4 ⇒ x = 2

⎛ 16 ⎞
Luego, el punto es ⎜ 2, ⎟ .
⎝ 3⎠

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Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
e 3x
a) f ( x ) =
1 + x2
b) g( x ) =ln { x(1 + 3 x 2 )}
1
x2
SOCIALES II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B

c) h( x ) = 2 5 x +

RESOLUCIÓN

a) f '( x) =

3 ⋅ e 3 x (1 + x 2 ) − 2 x ⋅ e 3 x e 3 x (3 + 3 x 2 − 2 x)
=
(1 + x 2 ) 2
(1 + x 2 ) 2

b) g ( x) = ln { x(1 + 3x 2 )} = ln ( x + 3 x3 ) ; g '( x) =
c) h '( x) = 5 ⋅ 2 5 x ⋅ ln 2 −

1 + 9x 2
x + 3x 3

2x
2
= 5 ⋅ 2 5 x ⋅ ln 2 − 3
4
x
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En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad, y han
llegado a la conclusión de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la
expresión: B( x ) = 0.5 x 2 − 4 x + 6 , siendo x la inversión en publicidad, en miles de euros, con x
en el intervalo [ 0,10] .
a) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tienepérdidas?.
b) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio
posible?.
c) ¿Cuál es el beneficio si no invierte nada en publicidad?. ¿Hay algún otro valor de la
inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio?.
SOCIALES II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN A

RESOLUCIÓN

a) Calculamos los puntos de corte de la función con el eje X.
4 ± 16 − 4 ⋅ 0.5 ⋅6 4 ± 2
=
⇒x=6; x=2
2 ⋅ 0.5
1
La empresa tiene pérdidas para todos los valores del intervalo (2, 6) .
0.5 x 2 − 4 x + 6 = 0 ⇒ x =

b) El mayor beneficio se obtiene para x = 10 .
c) Si no se invierte nada en publicidad ( x = 0 ) , el beneficio es 6.000 €. Para x = 8 también se obtiene
el mismo beneficio.

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2
⎧
si x ≤ 1
⎪
Sea la función f ( x ) = ⎨x
⎪ x 2 − 4 x + 5 si x > 1
⎩
a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función.
b) Represéntela gráficamente.
SOCIALES II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN B

RESOLUCIÓN
2
es continua y derivable para todos los valores excepto en x = 0 ; la función
x
x 2 − 4 x + 5 es continua y derivable para todos los valores. Vamos a estudiar si la función f ( x) es
continua y derivableen x = 1 .

a) La función

2
⎫
=2
⎪
x
⎬ ⇒ f (1) = lim f ( x) = 2 ⇒ Continua en x = 1
x →1
2
lim x − 4 x + 5 = 2 ⎪
+
x →1
⎭
⎧2
⎪− 2 si x < 1
y como:
Calculamos la función derivada: f '( x) = ⎨ x
⎪2 x − 4 si x > 1
⎩
lim

x →1−

f '(1− ) = − 2 ⎫
⎪
−
+
⎬ ⇒ f '(1 ) = f '(1 ) ⇒ Derivable en x = 1
+
f '(1 ) = −2 ⎪
⎭
Luego la función f(x) es continua y derivable en...