funciones

1. Cálculo de límites para funciones de dos
variables
Los límites de funciones de dos variables exigen, en general, un proceso de cálculo difícil.
En el presente apartado se hará un análisis sobre los siguientes aspectos:
1.-Límites según subconjuntos.
2.-Límites reiterados.
3.-Desarrollo de estrategias a partir de las gráficas para la determinación de la existencia o no, del límite.
4.-Aproximaciones numéricas.
5.- Cálculo de límites pasando a coordenadas polares.
Se acaba el apartado haciendo ejercicios en los que se utilizan todos los métodos explicados en los distintos subapartados.

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1.1. Límites según subconjuntos

A continuación se desarrolla un procedimiento para hallar límites según subconjuntos, de forma muy general.
La idea es encontrar un algoritmo quecalcule lim f Hx, yL para curvas y= f(x) generales y que pasen por el punto (a,f(a)).
y->fHxL
x->a

Es decir, si se trabaja en el punto (a,b) debe cumplirse que f(a)= b.
En el caso en que los subconjuntos sean rectas, los límites se denominan límites direccionales. En este caso:
y =f(x) = b + m (x - a)
El límite de la función f (x,y) en el punto (a,b) según el subconjunto elegido se puedecalcular a través de la siguiente
instrucción, que utiliza el comando de Mathematica Limit, y que será de utilidad en todo este epígrafe:
lim@a_, φ_D := Limit@f@x, yD ê. 8y −> φ@xD aD

NOTA: La función f[x] que describe el conjunto elegido debe ser declarada previamente.
NOTA: La función f[x,y] debe siempre denotarse con la letra f para que el procedimiento funcione.
La no existencia del límitedoble puede demostrarse encontrando dos subconjuntos para los cuales el límite según esos
subconjuntos sea distinto.
Ejemplo 1.1.1 .Hallar los límites direccionales en el origen de coordenadas de la función f Hx, yL =

xy
x2 + y2

.

Solución.
Para resolver el problema se define la función
xy
f@x_, y_D :=

2

x + y2

Luego se introduce la familia de subconjuntos, que en este casoes la familia de rectas y = m x.
φ@x_D := m x

Se ejecuta entonces la instrucción que proporciona el límite según dichos subconjuntos en a = 0.

2

Untitled-1

g@m_D = lim@0, φD
m
1 + m2

Así, por ejemplo, si m = 2 y m = 5, se obtiene:
g@2D
2
5
g@5D
5
26

Como el límite depende de la pendiente m, los límites direccionales son distintos. NO existe límite de la función en elorigen de coordenadas.
Ejemplo 1.1.2 .Hallar el límite de la función f (x,y) =

x2 y
x4 + y2

en el punto (0,0), mediante rectas y parábolas cuyo eje es el eje OY y que

pasen por el origen de coordenadas.

Solución.
Se procede como antes. Se introduce la función
x2 y
f@x_, y_D :=

x4 + y2

Se introduce la familia de rectas y = m x que pasan por el origen:
φ@x_D := m x

Ahoraejecutamos la instrucción general para calcular el límite direccional:
lim@a, φD
am
a2 + m2

Se evalúa en a= 0:
lim@0, φD
0

Observamos entonces que los límites direccionales son todos iguales, pues el límite no depende de m. Este hecho, sin
embargo, no permite afirmar nada sobre la existencia del límite doble.
NOTA: El límite direccional según la dirección del eje OY cuya ecuación es x=0, corresponde al valor m = ¶. Mathematica no tiene en cuenta esta peculiaridad aunque, en sentido estricto se debería calcular para hallar dicho límite direccional.
Limit@f@x, yD ê. 8x → 0a (lim y->b f Hx, yL ) y lim y->b (limx->a f Hx, yL ) . Si ambos límites son distintos, dado que el límite, si existe, debe ser
único, se concluye que no existe el límite doble (véase página 44 ).
Acontinuación se desarrollará un algoritmo para calcular los límites reiterados de cualquier función f Hx, yL en el punto
(a,b).
Un límite reiterado es, de acuerdo con la definición:
limre1@a_, b_D := Limit@Limit@f@x, yD, x −> aD, y −> bD

El otro límite reiterado se obtiene cambiando el orden de las variables.
limre2@a_, b_D := Limit@Limit@f@x, yD, y −> bD, x −> aD

Y ahora no habrá más que...