FUNCIONESTRASCENDENTES 1

FUNCIONES TRASCENDENTALES
(O NO ALGEBRAICAS )
CLARA CASTILLO

1-FUNCION LOGARITMO NATURAL
Definición y propiedades
La funcion logaritmo natural de un numero positivo se nota ln su dominio es
el conjunto de los números reales positivos y se define como una integral
1
definida, ,es el área bajo la curva de la funcion en el intervalo [1,x] con x
t
positivo es decir :

x
ln x = ∫1dt
1t

donde f(t)=1
t

si x es mayor de 1 el área sombreada esta dada por : A( x) =

x1
∫ t dt
1

y

para x entre 0 y 1 el área sombreada bajo la misma curva esta dada por

1

: A( x) = − ∫ 1dt = − ln x
xt
g

Y por el teorema fundamental del cálculo

d ln x = d x1dt = 1 con x > 0
x
dx
dx 1∫ t

Ya que la derivada de una integral con respecto a su limite superior es la
funcion integrando
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS DE LADEFINICION DE LOGARITMO

21
ln 2 = ∫ dt
t
1

aproximadamente 0,693147

3
ln 3 = ∫1dt
t
1

aproximadamente 1,098612

61
ln 6 = ∫ dt
t
1

aproximadamente 1,791759

El logaritmo natural lnx significa logaritmo en base e de x log e x donde e
es el numero trascendental , irracional de valor aproximado 2,71828.. El
logaritmo natural se lee ele ene de x

log(x) significa log x la base es 10 y es llamadologaritmo común y por
10
lo general se omite el subíndice 10
El logaritmo en base a log a de un numero con a número real y el logaritmo
natural ln tienen las mismas propiedades

PROPIEDADES
1- Logaritmo de un producto de dos números positivos es la suma de los
logaritmos de esos números

ln (a b) = ln(a)+ln(b)
Ejemplos :
1- log 56 =log(8x7)= log8+log7 ≈ 0.9031 +0.8451=1.7482
2- log 18 =log(9x2)=log9+log2 ≈ 0.9542 +0.3010=1.2552
3- ln(x(x+5))= lnx + ln(x+5)
2- Logaritmo de un cociente de dos números positivos es la diferencia entre el
logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador

ln (a /b) = ln(a)-ln(b)
Ejemplos :
16
1- log =log16- log21 = 1.2042 - 1.3222 = -0.1180
21
9
2- log =log 9- log7 = 0.9542 - 0.8451 = 0.1091
7
2
= ln2 – ln(x+3)
3- ln
x+3
3- Logaritmo de una potenciaes el producto del exponente por el logaritmo de
la base de esa potencia

ln (a ) = r .ln(a)
r

EJEMPLO :
1
2

1
1
log 5 = (0.6990 ) =0.3495
2
2
2- log 82 =2.log8 = 2(0.9031)=1.8062
3- ln ( x 2 + 7)5 = 5ln( x 2 + 7)

1- log 5 = log 5 =

4-Logaritmo del numero 1 es cero
ln(1) = 0

5.logaritmo natural del numero irracional e
ln e = 1

es igual a 1

EJEMPLOS
log 1 = 0
6
log 1 = 0
3
log1 = 0

6-si laecuación logaritmo de x es igual al logaritmo de y entonces x es igual a
y

ln x = ln y

entonces

x= y

La funcion logaritmo natural
y =ln x el dominio es el intervalo (0, ∞)
⎧< 0
ln x = ⎪⎨= 0
⎪> 0
⎩

para 0 < x < 1
para x = 1
para x > 1

la grafica de la funcion logaritmo natural o neperiano es la siguiente:

El rango es el conjunto de números reales
Es creciente en todo su dominio y lim

x→∞ln x = ∞

y

lim ln x = −∞
x→0+

DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL

y = lnx

la derivada

y '= 1
x

si la variable x se cambia por la funcion u(x) se usa la regla de la cadena para
derivar
1 du
y=ln u(x) entonces y’=
u ( x) dx
EJEMPLOS:
1. f ( x) = ln( x 2 − x − 2) por lo tanto f ' ( x) =

2. y=ln(5x+3) la derivada es y’=

1
( x 2 − x − 2)

(2 x − 1)

1
5
.(5) =
5x + 3
5x + 3

x
) entonces se aplicanlas propiedades de logaritmo asi:
x +1
y=ln x-ln(x+1) y después se deriva

3. y = ln(

dy 1
1
= −
dx x x + 1

4. y = 3

x −1
, x > 1 se simplifica la expresión usando las propiedades de
x2

logaritmo natural

y = ln( x − 1)1/ 3 = 1 ln( x − 1) = 1 [ln( x − 1) − ln( x 2 )] = 1 [ln( x − 1) − 2 ln x]
3
3
3
x2
x2
dy 1 1
= (
− 2) = 2 − x
dx 3 x − 1 x 3x 2 − 3x

INTEGRALES QUE PRODUCEN FUNCIONESLOGARITMICAS NATURALES
1

1. ∫ dx = ln x + C
x

1

2. ∫ du = ln u + C si u =g(x) diferente de 0 y derivable
u

x dx se efectua la sustitución u = 3x 2 − 5 y el du = 6x dx la
3x 2 − 5
1 1
1
1
integral se transforma en ∫ du = ln u + c = ln 3x 2 − 5 +c
6 u
6
6

3. ∫

4. ∫ tan xdx

senx
∫ tan xdx = ∫ cos xdx se hace la sustitución u= cosx y du = -senx dx y la
1
integral se transforma en − ∫ du = − ln u +...