FUNDAMENTOS DE MATRICES
Páginas: 17 (4160 palabras)
Publicado: 4 de junio de 2015
FUNDAMENTO DE MATRICES
Una matriz es una tabla ordenada de escalares
a
de la forma
ij
La matriz anterior se denota también por (
a
),
i
=1, ...,
m
,
j
=1, ..., n, o
ij
simplemente por (
a
).
ij
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son
sus columnas. Una matriz con
m
filas y
n
columnas se denomina
matriz m
por
n
, o matriz
m
n
.
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas,
A
,
B
, ...,
y los elementos de las mismas por minúsculas,
a, b,
...
Ejemplo:
donde sus filas son (1, 3, 4) y (0, 5, 2) y sus
TIPOS DE MATRICES
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de
columnas. Se dice que una matriz cuadrada
n
n
es de orden
n
y se
denomina
matriz ncuadrada.
Ejemplo:
Sean las matrices
Entonces,
A
y
B
son matrices cuadradas de orden 3 y 2
respectivamente.
Matriz identidad
1
Sea
A
= (
a
) una matriz
n
cuadrada. La diagonal (o diagonal principal)
i j de
A
consiste en los elementos
a
,
a
, ...,
a
. La traza de
A
, escrito
11
22
nn
tr
A
, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz
n
cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en
cualquier otra posición, denotada por
I
, se conoce como matriz
identidad (o unidad). Para cualquier matriz
A
,
A
∙
I
=
I
∙
A
=
A.
Matrices triangulares
Una matriz cuadrada
A
= (
a
) es una matriz triangular superior o
i j
simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal
principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
Matrices diagonales
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por
D
= diag (
d
,
d
, ...,
d
). Por
11
22
nn
ejemplo,
son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente,
por
diag(3,1,7) diag(4,3) y diag(2,6,0,1).
TRASPUESTA DE UNA MATRIZ
La traspuesta de una matriz
A
consiste en intercambiar las filas por las
T
columnas y se denota por
A
. Así, la traspuesta de
En otras palabras, si
A
= (
a
) es una matriz
m
n
, entonces
AT
=
i j
2
es la matriz
n
m
. La trasposición de una matriz cumple las siguientes
propiedades:
1. (
A
+
B
)T
=
AT
+
BT
.
T
T
2. (
A
)
=
A
.
T
3. (
kA
)
=
kAT
(si
k
es un escalar).
T
TT
4. (
AB
)
=
B
A
.
Matrices simétricas
Se dice que una matriz real es simétrica, si
AT
=
A
; y que es
antisimétrica,
si
AT
=
A
.
Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:
Podemos observar que los elementos simétricos de
A
son iguales, o
que
AT
=
A
. Siendo así,
A
es simétrica.
Para
B
los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este
modo
B es antisimétrica.
A
simple vista,
C
no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni
antisimétrica.
Matrices ortogonales
Se dice que una matriz real
A
es ortogonal, si
AAT
=
AT
A
=
I
. Se
observa que una matriz ortogonal
A
es necesariamente cuadrada e
1
invertible, con inversa
A
=
AT
.
Consideremos una matriz 3
3 arbitraria:
Si
A
es ortogonal, entonces:
Matrices normales
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es,
si
AAT
=
AT
A
. Obviamente, si
A
es simétrica, antisimétrica u ortogonal,
es necesariamente normal.
Ejemplo
:
3
T
T
Puesto que
AA
=
A
A
, la matriz es normal
SUMA Y RESTA DE MATRICES
...
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