fundamentos

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:


Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots +\beta_p X_p + \varepsilon

Y_t: variable dependiente, explicada o regresando.

X_1, X_2, \cdots, X_p :variables explicativas, independientes o regresores.

\beta_0,\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_p : parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.

donde \beta_0 es la intersección o término "constante", las \beta_i \ (i > 0) son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y p es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en laregresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.



Índice
1 Historia 1.1 Etimología

2 El modelo de regresión lineal
3 Hipótesis modelo de regresión lineal clásico
4 Supuestos del modelo de regresión lineal
5 Tipos de modelos de regresión lineal 5.1 Regresión lineal simple 5.1.1 Análisis

5.2 Regresión lineal múltiple

6 Rectas de regresión
7Aplicaciones de la regresión lineal 7.1 Líneas de tendencia
7.2 Medicina
7.3 Informática

8 Véase también
9 Referencias
10 Bibliografía
11 Enlaces externos


Historia

La primera forma de regresiones lineales documentada fue el método de los mínimos cuadrados, el cual fue publicado por Legendre en 1805,1 y en dónde se incluía una versión del teorema de Gauss-Márkov.

Etimología

Eltérmino regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas: al comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" al promedio.2 Laconstatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.

El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico por parte de lamatemática y la estadística mucho más extenso.

Pero bien, como se ha dicho, podemos usar el término lineal para distinguir modelos basados en cualquier clase de aplicación.

El modelo de regresión lineal

El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas X_k (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros \beta_kdesconocidos:


(2) Y = \sum \beta_k X_k + \varepsilon

donde \varepsilon es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicativa, el hiperplano es una recta:


(3) Y = \beta_1 + \beta_2 X_2+ \varepsilon

El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos \beta_k, de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (lasperturbaciones aleatorias se suponen no observables).


(4) Y_i = \sum \beta_k X_{ki} + \varepsilon_i

Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, \hat{\beta_k}, son los coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en


(5) Y_i = \sum \hat{\beta_k} X_{ki} + \hat{\varepsilon_i}

Los valores...