Gal2 Prac7 2S12

´
Geometr´ıa y Algebra
Lineal 2
Segundo semestre 2012

Universidad de la Rep´
ublica
Facultad de Ingenier´ıa - IMERL

´
PRACTICO
7: Operadores autoadjuntos.
1.

Operadores autoadjuntos

Ejercicio 1. En un espacio vectorial V con producto interno sobre R, se considera el operador lineal
T : V → V tal que T (v) = v, u0 u1 donde u0 y u1 son vectores no nulos (fijos) de V . Hallar T ∗ .
¿Qu´econdiciones tienen que cumplir los vectores u0 y u1 para que T sea autoadjunto?

Ejercicio 2. Sea P el espacio vectorial de todos los polinomios reales con el producto interno
1

p, q =

p(t)q(t)dt
−1

Determinar si los siguientes operadores T : P → P son lineales y autoadjuntos:
1. T (p) (t) = p (−t)
3. T (p) (t) = p(t)p (−t)

2. T (p) (t) = p(t) + p (−t)
4. T (p) (t) = p(t) − p (−t)

Ejercicio 3. SeanT1 y T2 operadores autoadjuntos
1. Probar que T1 + T2 es autoadjunto y que αT es autoadjunto ∀α ∈ R.
2. Dar un ejemplo que muestre que T1 ◦ T2 no tiene por que ser autoadjunto.
3. Probar que T1 ◦ T2 es autoadjunto ⇔ T1 y T2 conmutan.

2.

Representaci´
on matricial de operadores autoadjuntos. Matrices sim´
etricas y
herm´ıticas

Ejercicio 4.
1. En R3 con el producto interno habitual se consideraa) el operador lineal T tal que


1
3 1


B (T )B =  0 −4 0 
2 −1 3
siendo B = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 1)}. Probar que T es autoadjunta.
b) el operador lineal S tal que


1 0 0


B (S)B =  0 2 1 
0 1 2
siendo B = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 1)}.¿Es S autoadjunta?.
1

2

2. En C2 con el producto interno habitual se considera el operador lineal T tal que
B (T )B

1+i
i
−2i 1 − i=

siendo B = {(1, 1), (0, 1)}. Probar que T es autoadjunta.
3. Se considera en R3 el producto interno habitual. Sea T : R3 → R3 lineal dada por:
T (1, 1, 0) = (5, 8, −1), T (1, −1, 1) = (10, −14, 10), T (2, 1, 1) = (13, a, b)
Hallar a y b para que T sea autoadjunta.

3.

Teor´ıa Espectral de operadores autoadjuntos.

Ejercicio 5. En los siguientes casos probar que T es autoadjunto, hallar suforma diagonal y una
base ortonormal del espacio formada por vectores propios de T .
1. T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) =
2. T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) =

3
2x
3
2x

+ 21 z, 2y, 12 x + 32 z
− 21 z, −y, − 12 x + 32 z

Ejercicio 6.
1. Verificar que A es sim´etrica real y hallar una matriz P ortogonal (esto
P −1 AP sea diagonal

2
2 −2
1 1

(b) A =
(c) A =  1
(a) A =
−2
5
1 1
1
2. a) Verificarque A =
b) Verificar que A =

1+i
1
1
1−i
i 1
1 i

es P −1 = P t ) tal que

1 1

2 1 
1 2

es una matriz sim´etrica compleja no diagonalizable.

es una matriz sim´etrica compleja que no tiene valores propios

reales
t
3. Verificar que A es herm´ıtica y hallar una matriz P unitaria (esto es P −1 = P ) tal que P −1 AP
sea diagonal:


1 i 1
4
1−i
3 −i
6
2 + 2i


A=
A=
A=
A =  −i 0 0 
1+i
5
i3
2 − 2i
4
1 0 0

Ejercicio 7. Sea A ∈ Mn×n (R) sim´etrica y λ1 , λ2 , . . . , λn los valores propios de A.
1. Probar que tr(A) = λ1 + λ2 + · · · + λn y det(A) = λ1 λ2 . . . λn
2. a) Si λ1 , λ2 , . . . , λr son no nulos y λr+1 = λr+2 = · · · = λn = 0 probar que rango(A) = r.
b) Si adem´
as A es idempotente (esto es A2 = A ) demostrar que rango(A) = tr(A).

3

Ejercicio 8. Sea A ∈ M4×4 (R) unamatriz sim´etrica. Se sabe que λ y µ son valores propios distintos
de A, con mg(λ) = mg(µ) = 2. Adem´
as se sabe que los vectores (1, 1, 0, 0) y (1, 1, 1, 1) pertenecen a
Sλ (subespacio propio asociado a λ). Entonces una base de Sµ (subespacio propio asociado a µ) es:
A) B = {(1, −1, 0, 0), (0, 1, −1, 0)}.
B) B = {(0, 1, −1, 0), (0, 0, 1, −1)}.
C) B = {(0, 0, 1, −1), (−1, 0, 0, 1)}.
D) B = {(−1, 0,0, 1), (1, −1, 0, 0)}.
E) B = {(1, −1, 0, 0), (0, 0, 1, −1)}.

Ejercicio 9. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita con producto interno. Sea S un subespacio de V y T : V → V un operador lineal. Probar que si T es autoadjunto y S es invariante por T
entonces existe una base ortonormal de S formada por vectores propios de T

Ejercicio 10. [2do parcial curso 2005] En R3 con el producto...