GENERADORES

Tema 1.2: Topología del plano complejo. La
esfera de Riemann
Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 2008-09
E. de Amo
Pretendemos dotar al plano complejo C de una estructura topológica. Si
de lo que se trata es de buscar entre los candidatos, la topología asociada a la
distancia dada por el valor absoluto habrá de ser la primera a considerar:
d(z; w) := jz

wj ; 8z; w 2 C:Acostumbraremos a escribir, como es usual,
zn ! z :, 8" > 0; 9n0 2 N : n

n0 =) d (zn ; z) < ":

En estas circunstancias, se van a veri…car las siguientes propiedades que
resumimos sin demostración:
Proposición. Sean (zn ) y (wn ) dos sucesiones en C; convergentes a z y w,
respectivamente. Entonces:
i. zn + wn ! z + w
ii. zn wn ! zw
iii. Si w 6= 0 (y, por tanto, wn 6= 0; 8n

n0 ), entoncesP
Proposición. Para que la P de números complejos n
serie
gente, es su…ciente que n 0 jzn j también lo sea.

zn
wn

!

0 zn

z
w

sea conver-

P
Test de mayoración de Weierstrass. Sean ; 6= A
C y
n 1 fn una
serie de funciones de A en C. Supongamos que existe una sucesión de
reales positivos (Mn )n 1 , tal que
a. jfn (a)j Mn ; 8a 2 A; 8n 2 N, y
P
b.
n 1 Mn converge.
PEntonces la serie n 1 fn converge absoluta y uniformemente en A:

De hecho, el par (C; d) es un espacio métrico completo (no estamos hablando
de otra cosa, hasta ahora, que el plano euclídeo). Además, C es un cuerpo
topológico: es lo que nos dice la primera de las proposiciones arriba enunciadas
sobre la compatibilidad de las operaciones suma y producto y la distancia d.
Será útil, por tanto,el
1

Teorema de Hausdor¤.
i.
ii.
iii.

En todo espacio métrico E, son equivalentes:

E es compacto.
Toda sucesión en E admite parcial convergente en E:
Todo subconjunto in…nito en E tiene acumulación en E:

Observemos que C es un espacio métrico localmente compacto, pues los
discos cerrados (de centro z 2 C y radio r > 0)
D(z; r) := fw 2 C : jz

wj < rg

son compactos.Podemos aplicar, por tanto, es aplicable el
Teorema de Alexandro¤. Sea X un espacio topológico localmente compacto y de Hausdor¤. Sea 1 un objeto matemático tal que 1 2 X.
=
Consideremos el par (X1 ; ), donde X1 := X [ f1g y es la familia
dada por
fabiertos de Xg [ fA

X1 : XnA compactog :

Entonces
i.
ii.

(X1 ; ) es un espacio topológico compacto y de Hausdor¤.
La topología inducida en Xpor X1 es la de partida de X:

Si aplicamos este teorema al plano complejo C obtendremos lo que llamamos
el plano ampliado C1 ; que acostumbraremos a escribir como C: Es evidente que
los entornos de cada punto z 2 C admiten discos abiertos contenidos en ellos,
de la forma
D(z; r) := fw 2 C : jz wj < rg :
(El caso paradigmático será cuando z = 0; r = 1: D := D(0; 1), el disco unidad.)
Parael punto 1, que llamaremos (punto del) in…nito, una base de entornos
es la dada por
fU : > 0g ;
donde
U := fz 2 C : jzj > g [ f1g

C:

En efecto: si G 2 , con 1 2 G, se tiene que CnG es compacto, luego acotado:
existe
> 0 tal que si z 2 CnG entonces jzj
; así, U
G. Y como
consecuencia de ser fU : > 0g base de entornos:
Proposición.

Para cada sucesión (zn ) de números complejos detiene que
zn ! 1 , jzn j ! +1:

2

Es sencillo verlo:
zn ! 1 , f8 > 0; 9m; n

m =) jzn j > g , jzn j ! +1:

Es importante observar que, pese a todo, en C ya no se podrá operar como
en C: el objeto 1 sólo se ha incorporado con …nes topológicos, no operacionales;
C no es un cuerpo. De hecho, hay más:
No hay ninguna distancia en C que genere la topología .

Proposición.

En efecto;si fuese lo contrario, para tal d : C C ! [0; +1[ se tendría, en
particular, que
n ! 1 , d(n; 1) ! 0:
Pero:
d(n; 0) = n

d(0; 1) + d(1; n)

d(0; 1) + M; n

n0 ;

de modo que N estaría acotado; y sabemos que esto no es bueno...
Pese a no poder obtener la topología de C a partir de la distancia euclídea,
es decir, pese a no poder extender la distancia euclídea a C, lo que sí que se...