generalidades del algebra lineal

2.1 Definición de espacio vectorial y propiedades elementales de los espacios vectoriales.

Definición de espacios vectoriales: Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjuntoy un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores ya los elementos del cuerpo, escalares.

Propiedades de los espacios vectoriales: Los elementos de E se llaman vecto­res. Los elementos de R se llaman escalares siempre y cuando operen sobre E. La operación interna + se llama suma de vectores. La operación externa  se llamaproducto de vectores por escalares.

(R2,+,) es un espacio vectorial sobre R. (Con las operaciones habituales)
(V2,+,) es un espacio vectorial sobre R. Siendo V2={Vectores libres del plano}.
(R3,+,) es un espa­cio vectorial sobre R. (Con las operaci­ones habituales)
(Rn,+,) es un espacio vectorial sobre R. (Con las operaciones habituales)
P(x)={Polinomios de primer grado concoeficientes reales}={ax+b; a,bR}
+ Suma de polinomios.
 Producto de un número real por un polinomio.
[P(x),+,] es un espacio vectorial sobre R.
Si C={Nos Complejos}. [C,+,] es un espacio vectorial sobre R. (Con las operaciones habituales)
Si F={Funciones reales de dominio Dφ}. [F,+,] es un esp. vect. sobre R. (Con las operaciones habituales)
R es un espacio vectorial sobre Q.
Q no un espaciovectorial sobre R. No se puede asegurar que si aR y bQ, abQ.

Ejemplos
Entre escalares y vectores que cumple las siguientes condiciones




2.2 Combinación lineal

Definición: Sean v1, v2,..., vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces, toda expresión de la forma
a1v1+ av22+...+anvn
en donde a1, a2,.., an son escalares, se llama combinación lineal de v1, v2,..., vnDependencia lineal: Dependencia e independencia lineales. Sean v1, v2,..., vn n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2,..., cn no todos cero, tales que
c1v1 + c2v2+...+cnvn = 0
Si los vectores no son linealmente dependientes, entonces se dice que son linealmente independientes.
Expresadode otro modo, v1, v2,..., vn son linealmente independientes si la ecuación c1v1 + c2v2+...+cnvn = 0 sólo se satisface si c1= c2 =... = cn = 0.
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades
1. Si varios vectores sonlinealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.


También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.


Vectores linealmente independientes: Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con unacombinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.



Conjunto generador de un espacio vectorial: el conjunto generador es aquel conjunto que genera a su W o a su capsula es decir:
Si (V, K,+,*) un espacio vectorial SV. Entonces S es conjunto generador de V.

Base y dimensión deun espacio vectorial: Un conjunto de vectores {v1, v2,..., vn} forma una base para V si
i. {v1, v2,..., vn} es linealmente independiente.
ii.{v1, v2, ..., vn} genera V.
Así pues,
Todo conjunto de n vectores linealmente independientes enℜn es una base en ℜn En ℜn definimos

Como los términos ei son las columnas de la matriz identidad (cuyo determinante es 1), entonces {e1, e2, ..., en} es...