Geodésicas para una métrica estática y esféricamente simétrica con constante cosmológica

Geod´
esicas para una m´
etrica est´
atica y esf´
ericamente sim´
etrica con
constante cosmol´
ogica
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de f´ısica
Relatividad General
J. Vesga Simmons*
20 de Enero del 2014
Las ecuaciones de campo de Einstein en el vac´ıo con constante
cosmol´
ogica tienen la forma

R − 2R + 4Λ = 0 → R = 4Λ

(6)

de donde las ecuaciones de campo seconvierten en
1
(1)
Rµν − Rgµν + Λgµν = 0
2
Rµν = Λgµν
(7)
donde Rµν y R son el tensor y escalar de Ricci, respectivamente, gµν el tensor m´etrico y Λ la constante cosmol´
ogica. Del
as´ı que, para determinar la forma de las funciones α y β, se
estudio de la soluci´
on de Schwarzschild sabemos que, en coor- calculan las componentes no nulas del tensor de Ricci, dadas por
denadas (t, r,θ, ϕ) y con la signatura [−, +, +, +], la forma m´as
λ
general que puede tomar una soluci´
on est´
atica y esf´ericamente
Rµν = Rµλν
= ∂λ Γλµν − ∂ν Γλµλ + Γλλ Γµν − Γλν Γµλ
(8)
sim´etrica a las ecuaciones de campo de Einstein es
donde se ha supuesto la convenci´on de ´ındices repetidos. las
componentes del tensor de Ricci resultan id´enticamente nulas
2
2α 2
2β
2
2
2
ds = −e dt +e dr + r dΩ
(2)
para µ = ν y tiene componentes diagonales dadas por
donde α = α(r), β = β(r), dΩ2 = dθ2 + sin2 θdϕ2 y se ha
tomado c = 1. A partir de (2) construimos la funci´
on
2
(9)
Rtt = e2(α−β) α + (α )2 − α β + α
2 ˙2
µ ˙µ
2α ˙2
2β ˙2
2 ˙2
2
r
F (x , x ) = −e t + e r + r θ + r sin θϕ
(3)
2
dh
, con λ un par´
ametro af´ın. Habiendo definido la
donde h˙ = dλ
(10)
Rrr =−α − (α )2 + α β + β
r
funci´
on F, podemos utilizar las ecuaciones de Euler-Lagrange
d
dλ

∂F
∂ x˙µ

Rθθ = e−2β [r(β − α ) − 1] + 1

∂F
=
∂xµ

2

(4)

Rϕϕ = sin θRθθ

ν
ρ
d2 xµ
µ dx dx
+
Γ
=0
(5)
νρ
dλ2
dλ dλ
y a partir de ello obtener el valor de los s´ımbolos de Christoffel
no nulos Γµνρ . Realizando este proceso, se obtienen los siguientes
s´ımbolos no nulos=α
Γrθθ = −re−2β
Γθϕϕ = − sin θ cos θ

Γrtt = e2(α−β) α
r
Γϕϕ = −re−2β sin2 θ
1
Γϕ
rϕ = r

Rtt = Λgtt = −Λe2α

(13)

Rrr = Λgrr = Λe2β

(14)

y

de donde, despejando Λ e igualando, se tiene la relaci´
on

Γrrr = β
Γθrθ = 1r
ϕ
Γθϕ = cot θ

e−2α Rtt = −e2β Rrr → e−2(α−β) Rtt + Rrr = 0

(15)

con lo cual obtenemos la siguiente relaci´on entre α y β

donde unaprima denota derivada con respecto a r. Ahora,
tomando la traza de (1), obtenemos
* c´
odigo:

(12)

Utilizando (7) encontramos, por otro lado,

para luego comparar con la ecuaci´
on de las geod´esicas

Γttr

(11)

2
(α + β ) = 0 → α + β = 0
r
de donde concluimos que

133771 - jpvesgas@unal.edu.co

1

(16)

simetr´ıa esf´erica, podemos, sin p´erdida de generalidad,confinar
(17) el estudio del problema al plano θ = π2 . Con esto,(26) se vuelve

α = −β
y entonces, de (7) y (11) obtenemos la ecuaci´
on
Λr2 = e−2β [r(β − α) − 1] + 1

F (xµ , x˙µ ) = − 1 −

(18)

Rs
Λ
Rs
Λ
− r2 t˙2 + 1 −
− r2
r
3
r
3

−1

r˙ 2 +r2 ϕ˙ 2

la cual, reemplazando β = −α, se convierte en

(27)
de donde, utilizando (4), con λ = τ , encontramos que

e2α [2rα +1] = 1 − Λr2

(19)

Ahora, como consecuencia de la regla del producto para las
derivadas ordinarias,

d
dτ

∂F
∂ t˙

=0

(28)

d
dτ

∂F
∂ ϕ˙

=0

(29)

y

α
d 2α
d
re2 − e2α
e
=
dr
dr
resultado que nos permite escribir (19) como

2rα e2α = r

(20)

d
re2α = 1 − Λr2
dr

(21)

de donde obtenemos dos constantes de movimiento, dadas por

es decir
E =−2t˙ 1 −

Λ
(22)
re = r − r3 − Rs
3
donde Rs es una constante. Finalmente, dividiendo (22) entre
r, encontramos que
2α

Rs
Λ
e =1−
− r2
r
3
lo que a su vez implica que
2α

e2β = e−2α = 1 −

Rs
Λ
− r2
r
3

L = 2r2 ϕ˙

(23)

µ

1 = −gµν U µ U ν = −gµν x˙ µ x˙ ν

(24)

2

+ r dΩ

(32)

de donde obtenemos la ecuaci´on

1= 1−

−1

dr

(31)

Ahora,...