Geogebra

1.7 LÍMITES LATERALES Y EN EL INFINITO
Prerrequisitos:
A.-Intervalos:
x1 se lee x mayor a uno
x  1 se lee x mayor o igual a uno
0  x  4 Significa un conjunto de números que estén entre 0 y 4 incluidos estos últimos.
0  x  4 Significa un conjunto de números que estén entre 0 y 4 incluidos el 0 pero no el 4.
0  x  4 Significa un conjunto de números que estén entre 0 y 4 incluidos el 4pero no el 0.
0  x  4 Significa un conjunto de números que estén entre 0 y 4 incluidos ni el 0 ni el 4.
B.-funciones a trozos, por tramos, o por intervalos.
Para familiarizarnos con el tema se les envió una consulta sobre funciones por tramos, así
que justamente haremos eso funciones por tramos.
 x 2 si  3  x  0,
f  x  
 x  2 si 0  x  5.
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1112
13
14
15
16
17

x
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5

f(x)
9,00
6,25
4,00
2,25
1,00
0,25
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
5,50
6,00
6,50
7,00

Hacemos una tabla de valores en el intervalo de -3 a 0 empleando a
función cuadrática.
De la misma forma en el intervalo de 0 a 5 empleamos la función x+2
Yal unir los puntosobtenemos una función que tiene como parte
izquierda una parábola y como parte derecha una recta.
La gráfica sería similar a la siguiente.

LÍMITES LATERALES
 x 2 si  3  x  0,
lim f  x   
x0
 x  2 si 0  x  5.
Como observamos la gráfica:
1.-Si x se acerca a 0 por la izquierda el límite es cero.
2.-Si x se acerca a 0 por la derecha el límite es dos.
Como los límites no coincidense concluye que el límite no existe.
Formalmente tenemos:

lim f  x   lim f  x 

xa 

xa

Analicemos la siguiente función.

2 x si 0  x  1,

lim g  x   4 si x  1,
x1
5  3x si 1  x  2.

Haciendo una tabla de valores exactamente como se explicó en la sección de funciones por
tramos; los valores deben estar alrededor del uno tanto por la izquierda así comopor la
derecha
Como se observa cuando x toma el valor 0,999 f(x) toma un valor muy
N°
x
f(x)
próximo a dos.
1 0,5
1,00
Lo mismo ocurre si x=x0, 001 f(x) toma un valor muy próximo a dos.
2 0,7
1,40
Como los límites laterales coinciden entonces el límite existe y es igual a
3 0,8
1,60
dos.
4 0,9
1,80
La gráfica de este ejercicio se muestra a continuación:
5 0,99
5 0,999
6
1
71,5
8 1,4
9 1,3
10 1,2
11 1,1
13 1,01
13 1,001

1,98
2,00
4,00
0,50
0,80
1,10
1,40
1,70
1,97
2,00

Taller parte I
Resolver los siguientes ejercicios:
Encuentre los límites (en caso de que existan; o justificar su inexistencia); haciendo
una tabla de valores y una gráfica.
2

4  x si x  1
1.  lim f  x   
2
x1

2  x si x  1
 x 2 si x  3

2.  lim f x   11 si x  3
x1
2 x  3 si x  3


3.- Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de
atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x, en días),
 300
 x  30 si 0  x  30
obteniéndose que: lim f  x   
x30
1125

si x  30
  x  5  x  1

2 si x  0
4.  lim f  x   
x0
3 si x  0
2 si x 3
5.  lim f  x   
x4
0 si x  3
3

 x si x  0
6.  lim f  x   
x0

 x si x  0
2 si x  2

7.  lim f  x    4  x 2 si 2  x  2
x 2
2 si x  2

 x 2  4 si x  2

8.  lim f  x   4
si x  2
x 2
4  x 2 si x  2

 x 1
si x  1
x  1  x  1
9.  lim f  x  

x 1
x 1  x 1
si x  1
   x  1

 x  1 si x  110.  f  x   
2
3  ax si x  1
Para la función anterior encuentre un el valor de a que hace que el límite exista.
11.-Dada la siguiente gráfica hallar los límites que se le solicitan.

y  f  x

Encontrar:

1. 

lim f  x   ?

x 1

2. 

lim f  x   ?
x  0

3. 

lim y  f  x   ?
x 1

12.- La gráfica de f(x) aparece a continuación:

Encontrar:...