Geometria analitica antologia

Geometría analítica

Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más tarde con eldesarrollo de la geometría algebraica.
Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que la cumplen.
Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediantefórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1).
1. ESPACIO VECTORIAL.
Es un conjunto arbitrariodiferente del vacío en el cual se han definido dos operaciones: adición y producto por un número. Un conjunto es una colección de objetos que está bien definida, por definida, entendemos que siempre es posible saber si un elemento o no pertenece a una colección o conjunto.
Algunos ejemplos de espacios vectoriales son:
Con las operaciones usuales los siguientes conjuntos se constituyen comoespacios vectoriales: Matrices de n×n ; P(n) (polinomios), funciones continuas, IRn (producto cartesiano). Por ahora consideraremos el conjunto IR2 = { (x, y) | ... } y veremos las siguientes operaciones:
Sea un vector ^u = (x1, y1) y ^v = (x2, y2) y k un escalar entonces definimos las siguientes operaciones:
^u + ^v = (x1 + x2, y1 + y2) k^u = (kx1, ky1) ^u ·^v = x1 · x2 + y1 · y2
Y además sesatisfacen los siguientes axiomas:
Sean vectores denotados como ^u, ^v y ^w y a, b, c escalares, entonces:
1. ^u + ^v = ^v + ^u
2. (^u + ^v )+ ^w = ^u + (^v + ^w)
3. ^u + 0 = 0 + ^u = ^u
4. ^u + ( - ^u) = 0
5. a(b^u) = (ab)^u = ^u(ab)
6. a(^u + ^v) = a^u + a^v
7. (a + b)^u = a^u + b^v
8. 1^u = ^u
9. ^u·^v = ^v·^u
10. ^u(^v + ^w) = ^u·^v + ^u·^w
11. c(^u^v) =(c^u)^v = ^u(c^v)
12. 0·^u = 0
13. ^u·^u = |^u|2
14. Dos vectores son perpendiculares ó ^u·^v = 0
En IR² ó IR³ cuando consideramos un punto (x, y) cualquiera y lo representamos gráficamente en el plano cartesiano trazando una línea de leal origen, recibe el nombre de vector de posición o vector anclado. Además, si el vector ^u es elemento de IR², entonces ^u = (x, y).
En la siguientegráfica ^u es un vector anclado, observemos los demás elementos que componen dicha gráfica:
[pic]
Podemos observar que:
^u = ux + uy donde ux = (x, 0) y uy = (y, 0)
Denotamos como || ^u || a la distancia del origen al punto (x, y) denominada magnitud del vector ^u y de donde obtenemos las siguientes conclusiones:
• || ^u || = (x² + y²)½
• Cos(q) = x / || ^u ||
• Sen(q) = y / || ^u ||• Para un vector anclado ^u, ^ux representa su componente en la dirección x y ^uy representa su componente en la dirección y.
• La dirección de un vector de posición está dada por el ángulo que forma con el sentido positivo del eje X.

VECTOR NORMAL

El vector [pic]es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano.
[pic]
Si P(x0, y0, z0) es un punto del plano, elvector [pic]es perpendicular al vector [pic], y por tanto el producto escalar es cero.
[pic]
De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.

3. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
Para hallar la distancia de un punto P(r, s) a una recta dada tenemos dos alternativas, calcularla mediante:
P(r, s) Recta L: Ax + By + C = 0...