GEOMETRIA DE LAS FUNCIONES

2.1

GEOMETRÍA DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES

Iniciamos nuestra investigación de funciones con valores reales desarrollando métodos
para visualizarlas. Introduciremos en particular, los conceptos de grafica, curva de nivel
y superficie de nivel de dichas funciones.
Sea f una función cuyo dominio sea un subconjunto E de V 8 y cuya imagen esté
contenida en V 7 . Con esto queremosdecir que a cada x œ aB"ßÞÞÞßB8 b − E , 0 asigna un
valor 0 axb, una m-ada en V 7 . Dichas funciones 0 se llaman funciones con valores
vectoriales si 7  ", y funciones con valores escalares si 7 œ ". Por ejemplo, la función
$Î#
con valores escalares 0 aBß Cß D b œ aB#  C#  D # b
manda al conjunto E de
aBß Cß D b Á a!ß !ß !b en V $ (8 œ $ en este caso) a V (7 œ "). Para denotar 0 solemosescribir
$Î#
0 À aBß Cß D b È aB#  C#  D # b
Nótese que en V $ solemos usar la notación aBß Cß D b en lugar de aB" ß B# ß B$ b. En general,
la notación x È 0 axb es útil para indicar el valor al cual se manda un punto x − V 8 .
Escribimos 0 À E § V 8 Ä V 7 para expresar que E es el dominio de 0 (en V 8 ) y que la
imagen está contenida en V 7 . También usamos la expresión 0 manda E dentro deV 7 Þ
Dichas funciones 0 se llaman funciones de varias variables si E § V 8 , 8  ".
Como otro ejemplo, tomemos la función con valores vectoriales 1 À V ' Ä V #
definida por la regla
1axb œ 1aB" ß B# ß B$ ß B% ß B& ß B' b œ ˆB" B# B$ B% B& B' ß ÈB#"  B#' ‰Þ
La primera coordenada del valor de 1 en x es el producto de las coordenadas de x.
Las funciones de V 8 a V 7 no son sólo abstraccionesmatemáticas, sino que
surgen de manera natural en problemas estudiados en todas las ciencias. Por ejemplo,
para especificar la temperatura X en una región E del espacio se requiere una función
X À E § V $ Ä V (8 œ $, 7 œ "); así X aBß Cß D b es la temperatura en el punto aBß Cß D b.
Para especificar la velocidad de un fluido moviéndose en el espacio se requiere una
asociación Z À V % Ä V $ ,donde Z X aBß Cß Dß >b es el vector velocidad del fluido en el
punto aBß Cß D b del espacio en el tiempo > (ver la figura 2.1.1).
Para especificar la tasa de reacción de una solución que consta de seis reactores
químicos E, F , G , H, I y J en proporciones B, C, D , A, ? y @, se requiere una
asociación 5 À Y § V ' Ä V , donde 5aBß Cß Dß Aß ?ß @b da la tasa cuando los químicos
están en lasproporciones indicadas. Para especificar el vector cardiaco (el vector que
indica la magnitud y dirección del flujo de la corriente eléctrica en el corazón) en el
tiempo >, se requiere una asociación c À V Ä V $ ß > È - a>b.

Figura 2.1.1 Un fluido en movimiento define un campo vectorial Z al especificar la
velocidad de las partículas del fluido en cada punto en espacio y tiempo.
Cuando 0 À Y§ V 8 Ä V , decimos que 0 es una función de 8 variables, con
dominio Y y valores reales. La razón por la que decimos "8 variables" es simplemente
que consideramos las coordenadas de un punto x œ aB"ßÞÞÞßB8 b − Y como 8 variables, y
0 axb œ 0 aB"ßÞÞÞßB8 b depende de estas variables. Decimos con "valores reales" porque
0 aB"ßÞÞÞßB8 b es un número real. Buena parte de nuestro estudio será acercade funciones
con valores reales, por lo que les daremos atención especial.
Para 0 À Y § V Ä V , (8 œ "), la gráfica de 0 es el subconjunto de V # que
consta de los puntos aBß 0 aBbb en el piano, para B en Y . Este subconjunto se puede
pensar como una curva en V # . Esto se escribe simbólicamente, como
gráfica 0 œ ÖaBß 0 aBbb − V # lB − Y ×,
donde las llaves significan "el conjunto de todos" yla barra vertical significa "tal que".
Trazar la gráfica de una función de una variable es un recurso útil para visualizar el
comportamiento real de una función. (Ver la figura 2.1.2.) Sera conveniente generalizar
la idea de gráfica de una función a funciones de varias variables. Esto conduce a la
siguiente definicón:
DEFINICIÓN Sea 0 À Y § V 8 Ä V . Definimos la gráfica de 0 como el...