Geometria Se Ales

Geometría de Señales
Espacios Euclides / Hilbert

Objetivo
 Exponer los fundamentos matemáticos que
sustentan el tratamiento de señales digitales y su
relación con sus contrapartes continuas.
 El alumno aprenderá los conceptos básicos de la
representación geométrica de señales y su
aplicación para el diseño de los sistemas
digitales.
 Al finalizar esta unidad el alumno deberá tener
una ideaclara sobre los fundamentos
matemáticos que dan sustento al análisis y
procesamiento de señales.
2

Introducción
Previamente se presentaron algunas nociones
geométricas básicas relacionadas con las señales
●

Los conceptos de la Geometría Euclidiana (2D)
son ampliamente conocidos:
●

Vectores, Normas, Producto Interno (producto
punto) y sistemas coordenados.
●

Esas nociones geométricas se puedengeneralizar
para sistemas de N-Dimensiones (Hilbert)
●

Los conceptos geométricos se aplican a señales
ya que las señales pueden representarse como una
abstracción de vectores
●

Temario
Procesamiento de señales vista desde la
perspectiva de la Geometría Euclidiana
●

●

●

Espacios vectoriales
●

Vectores

●

Norma

●

Producto interno

Fundamentos de los espacios de Hilbert
●

AproximacionesGeometría Euclidiana
Vectores en ℝ²

Geometría Euclidiana
Vectores en ℝ²

[]

x0
x=
x1

Geometría Euclidiana
Vectores en ℝ²

[]

x0
x=
x1

∥x∥

Geometría Euclidiana
Vectores en ℝ²

[ ]

y0
y=
y1

[]

x0
x=
x1

∥x∥

Geometría Euclidiana
Vectores en ℝ²

[ ]

y0
y=
y1

[]

x0
x=
x1

∥y∥
∥x∥

Geometría Euclidiana
Vectores en ℝ²

[ ]

y0
y=
y1

[]

x0
x=
x1

∥y∥

α
∥x∥

Geometría EuclidianaVectores en ℝ²

[ ]

y0
y=
y1

[]

x0
x=
x1

Geometría Euclidiana
Vectores en ℝ²

[ ]

y0
y=
y1

π
α=
2

[]

x0
x=
x1

Geometría Euclidiana
Vectores en ℝ²

[ ]

Vectores Ortogonales

y0
y=
y1

π
α=
2

[]

x0
x=
x1

Geometría Euclidiana
Sistema Coordenado en 2D
x

ℝ²

e1

e0

Geometría Euclidiana
Sistema Coordenado en 2D
x

ℝ²

e1

e0

Sist. Ortogonal

Geometría Euclidiana
Sistema Coordenado en 2Dx

ℝ²

e1

x

v1
e0

Sist. Ortogonal

v0

Sist. Biortogonal

ℝ²

Geometría Euclidiana
Sistema Coordenado en 2D
Los sistemas coordenados se definen a
través de un conjunto de vectores que
expanden el espacio mediante
combinaciones lineales entre ellos.
●

Dicho conjunto se compone de vectores
linealmente independientes → forma un
conjunto mínimo de vectores
●

Geometría Euclidiana
Demasiadosvectores para un espacio:
x⃗1

ℝ²
x⃗0

Dependencia lineal :

x⃗2

∃ {a0, a1, a2 } tal que a 0 x⃗0 + a1 x⃗1 +a 2 x⃗2 =0

Geometría Euclidiana
Demasiados vectores para un espacio:
x⃗1
x⃗2

Dependencia lineal :

ℝ²
x⃗0

x⃗2

∃ {a0, a1, a2 } tal que a 0 x⃗0 + a1 x⃗1 +a 2 x⃗2 =0

Geometría Euclidiana
Demasiados vectores para un espacio:
x⃗1
x⃗2

ℝ²
x⃗0

x⃗1 + x⃗2

Dependencia lineal :

x⃗2

∃ {a0, a1, a2} tal que a 0 x⃗0 + a1 x⃗1 +a 2 x⃗2 =0

Geometría Euclidiana
Demasiados vectores para un espacio:
x⃗1
x⃗2

ℝ²
x⃗0

x⃗1 + x⃗2 =−⃗
x0

Dependencia lineal :

x⃗2

∃ {a0, a1, a2 } tal que a 0 x⃗0 + a1 x⃗1 +a 2 x⃗2 =0

Geometría Euclidiana
Pocos vectores para definir un espacio:
x

ℝ³
e1
e2

x̂

e0

Geometría Euclidiana
Pocos vectores para definir un espacio:
x

ℝ³

Proyección en un sub-espacio:e1

x̂

es la aproximación mas
cercana a x en el sub-espacio
definido entre e 0 y e 2

e2

x̂

e0

Geometría Euclidiana
Pocos vectores para definir un espacio:
x

ℝ³

Proyección en un sub-espacio:

e1

x̂

es la aproximación mas
cercana a x en el sub-espacio
definido entre e 0 y e 2

e2

x̂

e0

Señales
Espacios definidos con vectores → ∞ :
N

∑x
k=0

Espacio definido
por las funciones
continuasen el
intervalo [ -1 1].

N=0

(2k +1 )

,

(n )

x =sin(π nt )/n ,

t ∈ [-1 1]

Señales
Espacios definidos con vectores → ∞ :
N

∑x
k=0

Espacio definido
por las funciones
continuas en el
intervalo [ -1 1].

N=1

(2k +1 )

,

(n )

x =sin(π nt )/n ,

t ∈ [-1 1]

Señales
Espacios definidos con vectores → ∞ :
N

∑x
k=0

Espacio definido
por las funciones
continuas en el
intervalo [ -1 1].

N=2...