Geometria

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la
Fuerza Armada Bolivariana
Núcleo: Anzoátegui
San Tomé

Asignatura:
Geometría Analítica

Profesora:
Amabelis Caraballo
Integrantes:
Martínez Williams C.I: 20.547.755Singh Pria C.I: 19.786.652
Tineo Eduardo C.I: 18.679.801
Valera Odeil C.I: 20.547.506
2do semestre. Sección A-05

San Tomé, Enero de 2009
Ecuación general de segundo grado y las Cónicas

Ecuación cuadrática, ecuación polinómica de segundo grado, esdecir,

Ax2+ bx + c = 0

Con a ≠ 0. Se resuelve mediante la fórmula: x =

Que da lugar a dos soluciones, una o ninguna según que el discriminante Δ = b2 - 4ac sea, respectivamente, mayor, igual o menor que cero.

Si b = 0 o c = 0 la ecuación cuadrática se llama incompleta y se puede resolver de forma más sencilla que aplicando la fórmula anterior.

Secciones planas de un cono circularrecto.

El nombre de secciones cónicas con que se designa a la parábola, elipse e hipérbola tienen su origen en el hecho de que estas curvas se obtuvieron por primera vez como secciones planas de un cono circular recto.

Consideremos un cono circular recto de vértice V, cortado por un plano pi: que no pase por V, tal como se indica en la figura 107.
Sean S y S' dos esferas inscritas en el cono ytangentes n, x en los puntos F y F ‘, respectivamente. Sean pi1 y pi2 los planos respectivos de los círculos de contacto de las e s b m S y S' y el cono; estos planos son perpendiculares al eje del cono. Sean I y I’, respectivamente las intersecciones de pi con pi1 y pi2. Vamos a demostrar que C, curva de intersección de pi y el cono, es una sección cónica que tiene a F y F' por focos a l y I’,respectivamente, como directrices correspondientes.

Transformación de la ecuación general por rotación de los ejes coordenados. Apliquemos a la ecuación general
Ax2 + B x y + C y 2 + D x + E y + P = 0, (1)

en donde B diferente de 0, las ecuaciones de transformación por rotación
x = x’ cos 9 – y’ sen 13, y = x’ sen B + y’ cos B,

Dadas en el teorerna 2 del Artículo 5fl tenernos:

A (x'cos 8 –y’ sen 8)'+ B (x’ cos 8 – y’ sen 8) (x’ sen 8 + y’ c o s 8)

+ C (x’ sen6 + y’ cos8)" D ( x’ cos 8 – y’ sen 8)

+ E(x' senB + y’ c o s 8 ) + F = 0.

El Angulo 0 es una constante para un con0 dado, pero el Angulo a varia a medida que el plano secante; l toma diferentes posiciones.
Si a =, la ecuación (4) muestra que e = 1, y la sección es una parábola; en este caso, el plano x esparalelo a una generatriz del cono y, por tanto, corta solamente una hoja de la superficie cónica, como se indica en la figura 108 (a). Si a < P, la ecuación (4) indica que e < 1, y 1:1 sección es una elipse; en este caso, el plano x corta todas las generatrices de la superficie del cono, como se ve en la figura, 108 (b). En particular, si a = 0, el plano x es perpendicular al eje del cono, y lasección es una circunferencia. Finalmente, si a > P, la ecuación (4) indica que e > 1, y la secci6n es una hipérbola; en este caso, el plano IT corta a las dos hojas o ramas de la superficie cónica, como se ve en la figura 108 (c).
Podemos anotar aqui también algunos de 10s casos límites de las secciones cónicas. Así, consideramos el caso en que el plano secante n: pasa por el vértice V del cono. Sia < 0, el plano n: no corta a ninguna generatriz del cono, y tenemos un solo punto, el vértice V.
Si a = 13, t.1 plano x r s tangente a la superficie a lo largo de una generatriz del cono, y tenemos una sola recta. Si a > P, el plano pasa por dos generatrices distintas del cono, y tenemos como sección un par de rectas que se cortan en el vértice.
Cónica, cada una de las curvas planas que se...