geometria
Páginas: 2 (384 palabras)
Publicado: 27 de marzo de 2013
Geometría Euclidiana
Podemos utilizar nuestro conocimiento de los vectores en R2 y R3 para demostrar teoremas de la geometría euclidiana del plano. Para lograr lo anterior es necesario saberdescribir puntos, segmentos de rectas y las relaciones entre ellos utilizando la notación vectorial.
Analice el siguiente ejemplo.
Problema. Demuestre que el segmento de recta que bisecta dos lados deun triángulo tiene longitud igual a la mitad del tercer lado.
Solución: Utilizando la descripción del problema hacemos un bosquejo y etiquetamos los puntos de interés.
Segúnnuestro bosquejo, lo que queremos demostrar es que si es el punto medio de y es el punto medio de entonces .
Para resolver el problema representamos los segmentos de recta de interés utilizandovectores.
El vector puede obtenerse sumando los vectores y (recuerde la interpretación geométrica de la suma de vectores). Puesto que los puntos y son los puntos medios de lossegmentos y respectivamente, debe cumplirse y .
El vector puede obtenerse sumando los vectores y .
Finalmente podemos construír la demostración como:
Use la estrategia del ejemplo anterior parademostrar los siguientes teoremas.
1. El cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de un cuadrilátero cualquiera es un paralelogramo.
Sugerencia: Basándose en la siguiente figuraconstruya vectores para representar los lados de los cuadriláteros, construya también vectores que relacionen los vértices del cuadilátero ABCD con los puntos medios de sus lados. Recuerdeque demostrar que dos vectores son iguales prueba que tienen la misma magnitud y que son paralelos (¿por qué?). Note que .
2. Demuestre que los segmentos de recta que unen los puntos medios delados opuestos de un cuadrilátero se bisecan entre sí.
3. Sean A y B los extremos del diámetro de un círculo. Si C es cualquier punto sobre el círculo, demuestre que ACB es un...
Podemos utilizar nuestro conocimiento de los vectores en R2 y R3 para demostrar teoremas de la geometría euclidiana del plano. Para lograr lo anterior es necesario saberdescribir puntos, segmentos de rectas y las relaciones entre ellos utilizando la notación vectorial.
Analice el siguiente ejemplo.
Problema. Demuestre que el segmento de recta que bisecta dos lados deun triángulo tiene longitud igual a la mitad del tercer lado.
Solución: Utilizando la descripción del problema hacemos un bosquejo y etiquetamos los puntos de interés.
Segúnnuestro bosquejo, lo que queremos demostrar es que si es el punto medio de y es el punto medio de entonces .
Para resolver el problema representamos los segmentos de recta de interés utilizandovectores.
El vector puede obtenerse sumando los vectores y (recuerde la interpretación geométrica de la suma de vectores). Puesto que los puntos y son los puntos medios de lossegmentos y respectivamente, debe cumplirse y .
El vector puede obtenerse sumando los vectores y .
Finalmente podemos construír la demostración como:
Use la estrategia del ejemplo anterior parademostrar los siguientes teoremas.
1. El cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de un cuadrilátero cualquiera es un paralelogramo.
Sugerencia: Basándose en la siguiente figuraconstruya vectores para representar los lados de los cuadriláteros, construya también vectores que relacionen los vértices del cuadilátero ABCD con los puntos medios de sus lados. Recuerdeque demostrar que dos vectores son iguales prueba que tienen la misma magnitud y que son paralelos (¿por qué?). Note que .
2. Demuestre que los segmentos de recta que unen los puntos medios delados opuestos de un cuadrilátero se bisecan entre sí.
3. Sean A y B los extremos del diámetro de un círculo. Si C es cualquier punto sobre el círculo, demuestre que ACB es un...
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