Geometria

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA
TEMA: SEGMENTOS, ÁNGULOS

1.-Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F tales que BE=24, AC+BD+CE+DF=46. Calcular AF.
A) 20 B) 21 C) 18 D) 22 E) 23
SOLUCIÓN:
A
B
C
D
E
F
x
24

Pide: AE=x.
Datos: BE=24
AC+BD+CE+DF=46
Pero: AB+24+EF=x ⇒ AB+EF=x-24
AC+CE+EF=x.…. (I)AB+BD+DF=x…. (II)
(I) + (II):
AC+BD+CE+DF+AB+EF=2x
46 + x-24 = 2x
⇒ x=22
RESPUESTA: (D)

2.- Halle el valor de “y”, cuando “x” tome su máximo valor entero.

A) 65° B) 64° C) 59° D) 88° E) 62°
SOLUCIÓN:
Se observa:
2x-y+x+y+y-x=180°
⇒2x+y=180° ó y=180°-2x
Como todo ángulo espositivo, de acuerdo al gráfico:
2x>y ∧ y>x ⇒ x<y<2x
Reemplazando y=180°-2x, en la desigualdad.
x<y<2x
x<180°-2x<2x
⟹180°-2x<2x
⟹x>45°
∴El mínimo valor entero de x es 46°.
El valor correspondiente para y, será:
180°-2(46°)=y ⟹ y=88°
RESPUESTA:(D)

3.-Si a la medida de un ángulo se le resta dos grados más que la tercera parte de su complemento , resulta un cuarto del suplemento del ángulo , disminuido en un grado .¿Cuánto mide dicho ángulo?
A) 45° B) 46° C) 44° D) 48° E) 38°
SOLUCIÓN:
Sea “x”, la medida del ángulo.
Planteando el problema:
x-90°-x3+2°=14180°-x-1°
Resolviendo:
4x3-32°=44°-x4
⇒x=48°RESPUESTA: (D)

4.-En la figura: L1∥L2
Hallar el valor de x.

126°
2n
n
x
a
a

A) 54° B) 64° C) 44° D) 94° E) 84°
SOLUCIÓN:

En el triángulo sombreado:
x=n+a…………………. (1)
Por ángulos alternos externos:
2a=126° ⇒a=63°
Por ángulos correspondientes:
3n=a , como a=63° ⇒ n=21°
Finalmente, reemplazando los valores en (1):
x=63°+21° ⇒x=84°RESPUESTA :(E)
5.- Si: L1//L2, hallar “x”

A) 29° B) 30° C) 31° D) 32° E) 33°
SOLUCIÓN:
Se observa por propiedad:
32°+90°=2α+2ω ⇒ α+ω=61°
Además: α+ω+x=90°
61° + x =90° ⇒ x=29°
RESPUESTA: (A)

6.-En un recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F de modo que ACAE+DFBF=1. CalculeAC(DF)BD(CE)
A)2 B)1 C)1/3 D)3 E)1/2
SOLUCIÓN:
Hacemos el gráfico correspondiente:
A
B
C
D
E
F
a
b
b-a
d
c
d-c

Hacemos: AC=a; AE=b ⇒ CE=b-a
También: DF=c; BF=d ⇒ BD=d-c
De acuerdo al dato reemplazamos:
ab+cd=1
Entonces lo que piden es: a.cd-c(b-a)
Para llegar a lo que piden desarrollamos el dato:ad+bc=bd…………………..(α)
bc=d (b-a)………..…….….(1)
De esa misma expresión (α) también se puede expresar:
ad=b(d-c)……………………(2)
Entonces :( 1) × (2):
b.c.a.d=d(b-a).b(d-c)
Cancelando b y d queda:
ac=(b-a)(d-c)
⇒ acb-a(d-c)=1
RESPUESTA: (B)

7.- Según la figura mostrada. Calcule x si L1∥L2 ∧ L3∥L4.Además: β=θ2-α4

α
x
β
θ
θ

A) 48° B) 44° C) 49° D) 43° E) 45°
SOLUCIÓN:

Cuando se prolonga la recta L4 aprovechando L3∥L4 por alternos – internos respecto al ángulo “α”.
Luego, por ángulo conjugados:
2θ+α=180°………………….. (1)
En el triángulo sombreado se observa que:
x-β+θ=90°
Multiplicamos por 2:2x-2β+2θ=180°…………………. (2)
De acuerdo al dato: β=θ2-α4
Multiplicamos por 4: ⟹ 4β=2θ-α
Igualamos :(1)= (2)
2θ+α=2x-2β+2θ
2x-2β+2θ-α=2θ
2x-2β+4β=2θ ⇒ 2x+2β=2θ
⇒ x+β=θ ∧ x=θ-β
Reemplazando esta última expresión en (1):
x-β+θ=90°...