geometria

GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS
DESARROLLO DEL TEMA
I.

III. TEOREMAS FUNDAMENTALES

DEFINICIÓN
Es la figura geométrica que se forma al considerar tres
puntos no colineales y tres segmentos de recta que
tengan por extremos dichos puntos.

1.

α° + θ° + β° = 180º

B

2.

A

x° = α° + ω°

C

Elementos:
Vértices: A, B, C
Lados: AB, BC y AC
Notación:

3.

∆ ABC: triángulo devértices A, B y C.

x° + y° + z° = 360º

II. ELEMENTOS ASOCIADOS AL TRIÁNGULO

4. Relación de existencia
B
b

c

Medida de los ángulos interiores: α , β y θ

A

Medida de los ángulos exteriores: y, x, z

Si: a ≥ b ≥ c

Perímetro de la región triangular: 2p = a + b + c

⇒

Semiperímetro de la región triangular:

p=

UNI 2014 - II

a

b−c < a β
Recíproco
Si: α > β ⇒ a> b

Base: AC
Lados laterales: AB y BC

IV TEOREMAS ADICIONALES
.

0º < α < 90º; 0º < θ < 180º
3. Triángulo equilátero

x

x= 180º +θ
+y
θ

y

α + α + α =180º
α =60º

β

x = α+β+θ

x

α

B. De acuerdo a la medida de sus ángulos

θ

1. Triángulo acutángulo

0º < α < 90º
0º < β < 90º

m
x

y

0º < θ < 90º

x + y = m+n

n

2. Triángulo obtusángulo
xα

90º < β° < 180º
0º < α° < 90º

x+y = α+θ
y

0º < θ° < 90º

θ

3. Triángulo rectángulo

V CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
.
A. De acuerdo a la longitud de sus lados

α° + β° 90°
=
1. Triángulo escaleno

a≠b
a≠c

Catetos: AB y BC

b≠c

b

Hipotenusa: AC
Teorema de Pitágoras: b2 = a2 + c2

a

UNI 2014 - II

2

GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS

Exigimos más!

VI.LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL
TRIÁNGULO

D. Mediatriz

A. Ceviana
B

A

D

AM = MC
: Mediatriz del ∆ ABC relativa a AC .

C

BD : Ceviana interior relativa a AC .

E. Bisectriz interior

B

A

C

E

BD : Bisectriz interior relativa a AC .

BE : Ceviana exterior relativa a AC .

F. Bisectriz exterior

B. Mediana

B

θ

θ

A

Si AM = MC ⇒ BM: Medianarelativa a AC .
AB > BC

C. Altura

BE : Bisectriz exterior relativa a AC .
B

B

VI. ÁNGULO DETERMINADO POR BISECTRICES

L

A

E

C

H

C

A

C

BH : Altura relativa a AC .

= 90º +
x°

a°
2

= 90º −
x°

b°
2

AL : Altura relativa a BC .
90º < α < 180º

AV : Altura relativa a BC .
UNI 2014 - II

3

GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS

Exigimos más!

x° =x° =

m° + n°
2

x° =

a° − b°
2

y=

m−n
2

resueltos

Problema 1
Halle la medida del ángulo β indicado
en la figura mostrada, donde las rectas
L1 y L2 son paralelas.

UNI 2010-I
Nivel fácil
A) 51°
D) 57°

a° + b°
2

x° =

problemas

c°
2

B) 53°
E) 59°

C) 55°

Problema 2
En un cuadrilátero ABCD, las prolongaciones de los lados BA y CD se intersecan enM (A ∈ BM) y las prolongaciones de los lados AD y BC se intersecan
en N (C ∈ BN). Si los ángulos BAD y BCD
miden 70° y 80° respectivamente, determine el ángulo que forman las bisectrices interiores de los ángulos AMC y ANC.

UNI 2010-I
Nivel intermedio
A ) 90°
D) 110°

B) 100°
E) 115°

C) 105°

Resolución:

Resolución:

x
Piden: m∠MON =
 

MO y NO: Bisectrices
Delgráfico:

Del gráfico:

= 105°
x

Respuesta: C) 105°
Problema 3
En un triángulo ABC se cumple AB = 2 m
y AC = 32 m. Halle el perímetro del
triángulo en metros, sabiendo que es un
número entero y el ángulo en A es obtuso.

UNI 2009 - I
Nivel difícil

A) 65
D) 68

B) 66
E) 69

C) 67

Resolución:
Se pide: 2PDABC
AB = 2; AC = 32; A es obtuso y el perímetro es numéricamenteentero.

Del gráfico:
x > 32.......(1)
Tenemos:
θ 57° + 70° (Propiedad)
=
= 127°
θ
En P: θ += 180°
β
127° += 180°
β
β= 53°

Respuesta: B) 53°
UNI 2014 - II

BC es el lado mayor
30 < x < 34 .......(2)
Teorema de la desigualdad triangular

(Propiedad sobre bisectrices)

x=

110° + 100°
2

De (1) y (2): x = 33
2PDABC = 2 + 32 + 33
∴ 2PDABC = 67

Respuesta: C) 67
4...