Geometria

GEOMETRIA
Entre los tipos de geometría más destacadas se encuentran:
- Geometría euclidiana
- Geometría plana
- Geometría espacial
- Geometría no euclidiana
- Geometría riemanniana
- Geometría Hiperbolica
- Geometría analítica
- Geometría diferencial
- Geometría proyectiva
- Geometría descriptiva
- Geometría de incidencia

Geometríaeuclidiana
Estudia las propiedades de un plano y del espacio tridimensional. Se utiliza el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. También se utiliza el sinónimo de geometría plana.
La geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libro "Los elementos", dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente –desdeArquímedes hasta Steiner.
En contraposición de los métodos sintético y métodos algebraico-analítico, la geometría euclidiana es el estudio por métodos sintéticos de los invariantes de un espacio vectorial real de dimensión 3 dotado de un producto escalar muy concreto (el frecuentemente denominado producto escalar habitual).
Según el Programa de Erlangen, la geometría euclidiana estudia las invariantesde las isometrías en un espacio euclidiano (espacio vectorial real de dimensión finita, dotado de un producto escalar)
Alguno de los errores de Euclides fue omitir al menos dos postulados más:

Dos circunferencias separadas menos de 2R se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construcción)
Dos triángulos con dos lados iguales y su ángulo igual, son iguales (equivale alconcepto de movimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definir explícitamente)

Geometría plana
La geometría plana es considerada como parte de la geometría Euclidiana que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. Esta geometria estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.
Una parte importante de la geometría plana son las construccionescon regla y compás.

Geometría no Euclidiana
Se trata de cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. El primer ejemplo de geometría no euclidiana fue la hiperbólica, ideada por varios autores a principios del siglo XIX.
Los desarrollos de geometrías no euclídeas se gestaron en sus comienzos con elobjetivo de construir modelos explícitos en los que no se cumpliera el quinto postulado de Euclides.
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El primero que penso en concebir la posibilidad de una geometría diferente de la geometría clásica desarrollada por los griegos y expuesta por Euclides en la obra “Los Elementos” fue Immanuel Kant.

Geometría hiperbólica
La geometría hiperbólica (o lobachevskiana) es un modelo degeometría se basa en los primeros cuatros postulados de la geometría euclidiana. Aunque siguen siendo válidos en geometría hiperbólica muchos aspectos y teoremas de la geometría euclidiana, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometría euclideana y la geometría elíptica, la geometría hiperbólica es un modelo de curvatura constante:
La geometríaeuclideana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.
La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.
La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.

Geometría Riemanniana
La geometría riemanniana es tratada en en la geometría diferencial, consiste enel estudio de las variedades diferenciales con métricas de Riemann; es decir de una aplicación que a cada punto de la variedad, le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, aplicación que varía suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre otras magnitudes) ángulo, longitud de curvas, y volumen. A partir de éstas, pueden obtenerse otras magnitudes...