GEOMETRIA

Determinación de los diferentes casos de relación entre la circunferencia y la recta
Posición relativa de recta y circunferencia
Si una recta y una circunferencia no tienen ningún punto en común, es decir, si no se cruzan, la recta se dice recta exterior a la circunferencia. Si la recta corta a la circunferencia en un único punto, llamado punto de tangencia, hablaremos de una recta tangente ala circunferencia. Por último, si la recta corta en dos puntos a la circunferencia, la recta recibe el nombre de recta secante a la circunferencia. En este caso, la porción de recta interior a la circunferencia se llama cuerda.

La determinación de una recta en el plano exige dos restricciones geométricas; entre las condiciones más empleadas se encuentran las de paso o pertenencia a un punto ylas de tipo angular (forma un determinado ángulo con otra recta o circunferencia).
Analizaremos las condiciones angulares respecto de una circunferencia dada para establecer un método de obtención de soluciones por reducción a problemas de tangencias, válido para una o dos condiciones angulares.


Supongamos el siguiente problema:
Dada una circunferencia c de centro O y radio dado, y unpunto P exterior a la misma, determinar las rectas que pasan por dicho punto y forman un ángulo dado con la circunferencia.

En nuestro problema el ángulo es un dato del problema, por ejemplo 45º.
Hemos visto, al estudiar las nociones sobre ángulos, que el ángulo que forman una recta y una circunferencia es el que forma la recta con la tangente a la circunferencia en el punto de corte entre ambas.
Siel punto P estuviera sobre la circunferencia (T), la solución sería inmediata. Obtendríamos la tangente en Ty a continuación, con el valor del ángulo, determinaríamos la dirección de la recta (r). El punto de corte de la recta con la circunferencia sería el propio punto P=T.

Si giramos la recta con centro el de la circunferencia (O), el ángulo entre la recta girada y la circunferencia nocambia. Las infinitas posiciones de esta recta, al girar, son tangentes a una circunferencia g concéntrica de la anterior c. Esta circunferencia (g) se denomina goniómetra.

Circunferencia goniómetra g
Podemos cambiar la condición angular de la recta respecto de la circunferencia c, por una condición de tangencia a la circunferencia goniómetra g.
Para resolver por tanto el problema determinaremosprimero la circunferencia goniómetra con la condición angular, y obtendremos las tangentes a la misma desde el punto P. Necesitaremos un arco capaz de 90º entre el centro O común a las circunferencias y el punto P, para determinar los puntos de tangencia en g.

Rectas que pasan por un punto y forman un ángulo con una circunferencia
Los puntos I1 e I2 de tangencia a la goniómetra serán los puntosde paso de las soluciones buscadas.
La circunferencia goniómetra nos permite por tanto cambiar condiciones geométricas de angularidad por otras de tangencia que podremos aplicar en la resolución de otros problemas similares.
Como ejercicio para el lector se propone determinar las rectas que forman ángulos determinados con dos circunferencias diferentes, o un ángulo con una recta ysimultáneamente otro con una circunferencia.




Posición relativa de dos circunferencias
Hemos estudiado hasta ahora las posiciones relativas de un punto y una recta respecto a una circunferencia. Ahora estudiarás las posiciones relativas de una circunferencia respecto a otra circunferencia.
1) Dos circunferencias pueden ser exteriores una respecto a la otra cuando no tienen ningún punto en común y ladistancia entre los centros de ambas es mayor que  la suma de sus radios.

Comprobarás que la distancia entre los centros es mayor que la suma de los radios:

2) Dos circunferencias son tangentes exteriores cuando la suma de sus radios es igual a la distancia de sus centros, lo que quiere decir que: 
Siendo r el radio de la circunferencia más pequeña y R el de la mayor y D la distancia...