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Apuntes de J. Lorente

2.2.
2.2.1.

9

Iteración funcional. Convergencia.
Problema equivalente. Iteración funcional.

La mayoría de los métodos conocidos construyen aproximaciones (xn ∼ r) sucesivas escribiendo
=
la ecuación inicial en una forma equivalente adecuada:
x = g(x)
Por ejemplo, la ecuación x3 + 9x + 9 = 0 se puede escribir en las formas equivalentes siguientes:
3

x =g1 (x) = − x − 1
9
x = g2 (x) = − x29
+9
x = g3 (x) = −
x = g4 (x) =

9
− x − 9 (para la raíz negativa)

(2.6)

2x3 −9
3(x2 +3)

Desde esta forma de escribir la ecuación inicial, es sencillo describir una técnica iterativa para
generar los valores o aproximaciones; a saber1 :
x0 = aproximaci´n inicial
o
xn+1 = g(xn ) n ≥ 0

(2.7)

Así, el problema a estudiar se reduce a versi g(x) tiene o no puntos fijos (r = g(r)) y si es único
o no. Más aún, ¿será convergente el método descrito por (2.7)?
Ejemplo. (Compruebe los cálculos de las dos primeras aproximaciones para cada uno de los
métodos)
La aplicación del método dado por (2.7) con las distintas elecciones, (2.6), de g(x) proporciona
lo resultados siguientes:
n
0
1
2
3
4
5
6
7

x = g1 (x)
-1
-0.888889-0.921963
-0.912924
-0.915460
-0.914754
-0.914951
-0.914896

x = g2 (x)
-1
-0.9
-0.917431
-0.914478
-0.914981
-0.914895
-0.914910
-0.914907

x = g3 (x)
-1
0
no existe

x = g4 (x)
-1
-0.916667
-0.914909
-0.914908
-0.914908
-0.914908
-0.914908
-0.914908

Tabla 2.2: Métodos de iteración funcional para x3 + 9x + 9 = 0.
1

El método de Newton-Rahpson es de la forma(2.7) por lo que podemos deducir las propiedades ya comentadas
anteriormente usando la teoría general que exponemos en esta sección.

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Cálculo Num.: Ecuaciones no lineales.

Este ejemplo pone de manifiesto la disparidad de resultados que se pueden presentar según se
elija la función g(x). Se aprecia convergencia en tres de ellas (aunque con distinta rapidez) y no
convergencia para g3(x).
El siguiente resultado proporciona las condiciones suficientes sobre g(x) que aseguran la convergencia del método (2.7).
Teorema 2.2 (Punto Fijo)
Sea g : [a, b] → [a, b] continua y derivable en ]a,b[, verificando:
|g (x)|

L < 1 ∀x ∈]a, b[

(2.8)

Entonces,
1. Existe una única raíz real de la ecuación x = g(x) (punto fijo de g) en [a, b].
2. El método (2.7) es convergente al punto fijode g(x) para x0 ∈ [a, b]; es decir, l´ xn = r = g(r)
ım
n→∞

Demonstración.
1. Para probar la existencia de punto fijo de g(x) basta aplicar el teorema de Bolzano a la función
f (x) = x − g(x) puesto que:
Si g(a) = a y g(b) = b, entonces f (a)f (b) < 0
En caso contrario, g(x) tendrá un punto fijo en x = a ó en x = b.
La unicidad se obtiene observando que f (x) = 1 − g (x) = 0 ∀x ∈]a, b[(pues −1 < −L ≤
g (x) ≤ L < 1) y por tanto, f (x) se anulará, a lo sumo, una vez.
2. En cuanto a la convergencia del método, se obtiene del hecho siguiente:
Las aproximaciones sucesivas, xn , están en el intervalo de partida [a, b] si x0 ∈ [a, b] pues
g : [a, b] → [a, b]
Aproximaciones consecutivas xn , xn+1 cumplen:
|xn+1 − xn | = |g(xn ) − g(xn−1 )| = |g (µn )||xn − xn−1 | ≤ L|xn − xn−1 | ≤· · · ≤ Ln |x1 − x0 |
De lo anterior se puede probar que la sucesión {xn } es de Cauchy, lo que significa que es
convergente a un valor r ∈ [a, b]; es decir,
l´ xn = r
ım

n→∞

Por último, basta comprobar que el valor, r, es el punto fijo de g(x); es decir, g(r) = r. Para
ello basta usar la continuidad de g(x) y las propiedades de límites para tales funciones; a
saber,
g(r) = g

l´ xn =l´ g (xn ) = l´ xn+1 = r
ım
ım
ım

n→∞

n→∞

n→∞

Observaciones:
Para funciones g(x) no derivables, el teorema sigue siendo válido, si se sustituye la condición
(2.8) por:
2
|g(x) − g(y)| ≤ L |x − y| ∀x, y ∈ [a, b] con 0 ≤ L < 1
(2.9)
2

En general, una función que cumple (2.9) con 0 ≤ L se llama Lipschitziana de cte L

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Una función g(x) que...