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Matem´ticas en Wall Street: la f´rmula de
a
o
Black-Scholes
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Miguel Angel Mir´s Calvo∗
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Me di cuenta definitivamente de la importancia de la f´rmula de
o
Black-Scholes al escuchar a esos negociadores de opciones hablar
de modo rutinario de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales estoc´sticas. ¿Qui´n hubiese podido imaginarse a esta
a
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gente hablando de esta manera?Robert C. Merton
Premio Nobel de Econom´ en 1997
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Introducci´n y objetivos
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En los ultimos a˜os, los mercados financieros de capitales y derivados
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han experimentado un enorme auge, hasta el punto de convertirse en una
de las industrias de mayor crecimiento y prosperidad. Este per´
ıodo de apogeo ha impulsado el estudio riguroso de estos mercados mediante modelosmatem´ticos. Uno de los problemas estrella en las finanzas modernas es
a
el de valorar (poner precio) a los, cada vez m´s numerosos y sofisticados,
a
productos financieros: futuros, derivados, opciones, swaps... La moderna
teor´ de la valoraci´n de activos comienza con la publicaci´n de la famosa
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f´rmula de valoraci´n de Black and Scholes (1973). Esta elegante f´rmula
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ha cambiado parasiempre la forma en la que, tanto los te´ricos acad´micos
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como los profesionales de los mercados, entienden la valoraci´n de derivao
dos. Desde su presentaci´n, ha sido estudiada, analizada y contrastada en
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los mercados reales de opciones y futuros de todo el mundo. De hecho, pocas
teor´ han sufrido y resistido una revisi´n emp´
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o
ırica tan rigurosa. La teor´
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deBlack-Scholes ha salido airosa de este escrutinio no s´lo por su flexibio
lidad y grado de aplicaci´n sino porque la mayor parte de las ideas de las
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modernas teor´ de valoraci´n ya se encuentran originalmente en ella. El
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modelo de Black-Scholes ha servido de base para numerosas generalizaciones
y extensiones por parte de acad´micos y de profesionales de las finanzas. Sin
e
∗
Departamento deMatem´ticas. Facultad de Econom´ Universidade de Vigo. C/
a
ıa.
Lagoas Marcosende s/n. 36200 Vigo. Pontevedra (Spain). mmiras@uvigo.es

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duda, la espectacular expansi´n de los productos financieros derivados est´
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a
intr´
ınsecamente unida a este formidable modelo.
Este peque˜o curso tiene dos objetivos. Por una parte, introducir los
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conceptos financieros y matem´ticos necesariospara entender la f´rmula de
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Black-Scholes y su significado. Por otra, discutir algunas de las profundas
implicaciones y consecuencias que esta f´rmula tiene en la moderna teor´
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de valoraci´n de activos. Dividiremos el curso en varios apartados:
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1. Herramientas matem´ticas fundamentales
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2. Conceptos financieros b´sicos
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3. El movimiento Browniano de los precios
4. Laf´rmula de Black-Scholes
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5. Comentarios y extensiones
6. Material bibliogr´fico e inform´tico relacionado
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A continuaci´n, daremos un breve esquema del contenido de cada apartao
do. Naturalmente ´ste es meramente orientativo y de referencia. No olvidee
mos que nuestro prop´sito no es obtener una derivaci´n formal de la f´rmula
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sino entender el significado de sus t´rminos,comprender las hip´tesis ideales
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bajo las que funciona y conocer las matem´ticas que la sustentan.
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Herramientas matem´ticas fundamentales
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Una de las ventajas de la f´rmula de valoraci´n de Black-Scholes es que
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puede entenderse teniendo tan s´lo unas ideas b´sicas de las matem´ticas
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del inter´s compuesto y un conocimiento elemental de probabilidad.
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Inter´ssimple: V es el valor al cabo de un tiempo t de un dep´sito inicial
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P a una tasa de inter´s anual r.
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V = P (1 + r)t

Inter´s compuesto: V es el valor al cabo de un tiempo t de un dep´sito
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inicial P a una tasa r de inter´s compuesto n veces al a˜o.
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n
V =P 1+

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r
n

nt

Inter´s continuo: V es el valor al cabo de un tiempo t de un dep´sito
e
o
inicial P a una...