Glosarry

GLOSARIO: DICCIONARIO DE ÁLGEBRA
LINEAL
Autovalor λ y autovector x. Ax = λx, siendo x = 0 , de modo que det(A - λI) = 0.
/
Base de V. Vectores independientes v1, ..., vd, cuyas combinaciones lineales dan como resultado todas las
v de V. ¡Un espacio vectorial tiene muchas bases!
Base estándar para Rn. Columnas de la matriz identidad de n por n (expresadas como i, j, k en R3).
Cociente deRayleigh q(x) = xTAx /xTx para una matriz simétrica A: λmin < q(x ) < λmax. Los autovectores
x alcanzan dichos extremos para λmin(A) y λmax(A).
Cofactor Cij. Eliminar la fila i y la columna j; multiplicar el determinante por (- 1)i+j .
Columnas libres de A. Columnas sin pivotes; combinaciones de anteriores columnas.
Columnas pivote de A. Columnas que contienen pivotes tras una reducción porfilas; no son
combinaciones de anteriores columnas. Las columnas pivote conforman la base del espacio de
columnas.
Combinación lineal cv + dw o

∑c v
j

j

. Suma de vectores y multiplicación de escalares.

Complemento de Schur S = D – CA-1B. Aparece al realizar la eliminación por bloques en
Condicionamiento de la matriz A. cond ( A) = k ( A) = A A
relativa

δx

x

−1

[ ].
AB

CD

= σ max . σ min . En Ax = b, la perturbación

es menor que cond(A) veces la perturbación relativa

δb

b . El

condicionamiento de la matriz mide hasta qué punto la salida es susceptible de cambiar en
función de los datos de entrada.
2

Conjugado complejo. z = a − ib para cualquier número complejo z = a + ib . De ahí zz = z .
Conjunto conectado (Spanning set) v1, . . . ,vm para V. Todos los vectores de V son combinaciones de
v1, . . . , vm.
Cuatro subespacios fundamentales de A = C(A), N(A), C(AT), N(AT).
Dependencia lineal v1, . . . , vn. Una combinación distinta de todas las ci = 0 da como resultado

∑cv .
i

i

Descomposición de valor singular (SVD) A = UΣV = (U ortogonal) por (diagonal Σ) por (VT
T

ortogonal). Las primeras columnas r de U y V sonbases ortonormales de C(A) y de C(AT),
siendo Avi = σiui y el valor singular σi > 0. Las últimas columnas de U y V son bases
ortonormales de los espacios nulos de AT y A.
Descomposición polar A = QH. Q ortogonal, H (semi)definida positiva.

(

Desigualdad de Schwarz. v ⋅ w ≤ v w . Entonces v Aw ≤ v Av
T

T

) ( w Aw ) si A = C C.
T

T

Desigualdad triangular u + v ≤ u + v . Paralas normas matriciales A + B ≤ A + B .

1

2

Glosario

Determinante A = det( A) . Se define de la siguiente manera: el det I = 1, el signo cambia al
intercambiar filas y en todas las filas se cumple la linealidad. El A = 0 cuando A es singular.
Asimismo, AB = A B y A

−1

= 1 A y A = A . La fórmula extendida del det(A) consiste
T

en una suma de n! elementos, el método dedesarrollo por cofactores (cofactor formula) utiliza
determinantes de tamaño n – 1, siendo el volumen del paralelepípedo = det( A) .
Diagonalización Λ = S-1AS. Λ = matriz de autovalores y S = matriz de autovectores. A tiene que tener n
autovectores independientes para que S sea invertible. Toda Ak = SΛk S-1.
Dimensión del espacio vectorial. dim(V ) = número de vectores en cualquier base para V.Ecuación característica. Det ( A − λ I ) = 0 . Las n raíces son los autovalores de A.
T
T
ˆ
Ecuación normal A Ax = A b . Da la solución por mínimos cuadrados de Ax = b si A es de rango n. La

ˆ
ecuación dice que (columnas de A) (b − Ax ) = 0 .

Eigshow. Autovalores y valores singulares gráficos de 2 por 2 (código de MATLAB o Java).
Eliminación. Secuencia de operaciones de filas que reduce Aa una matriz triangular superior U o a la
forma reducida R = rref(A). Entonces A = LU con los multiplicadores l ij en L, o PA = LU con
intercambios entre filas en P , o EA = R siendo E una matriz invertible.
Elipse (o elipsoide) xTAx = 1. A tiene que ser una matriz definida positiva; los ejes de la elipse son
vectores propios de A, con longitudes 1
−1

elipse A y

2

λ . (Para x = 1...