Gradiente

Gradiente

Definición
Una función z = f(x, y) se denomina al vector f(a, b) = <fx (a, b), fy (a, b)> gradiente de f en el punto (a, b).
Se verifica que la derivada direccional en ladirección de un vector unitario v es el producto escalar del vector gradiente de f en el punto (a, b) con el vector v :

Cuando v es un vector unitario que tiene la misma dirección y sentido que elvector gradiente, se presenta que el valor máximo de la derivada direccional es
El vector gradiente en el punto (a, b) es perpendicular a las tangentes a la superficie. Es decir, el vectorgradiente es un vector normal a la superficie en el punto (a, b). Al ser el vector gradiente, en un punto, perpendicular a la superficie equiescalar que pasa por ese punto, las líneas vectorialesdel campo cortarán ortogonalmente a las líneas equiescalares.

Figura tomada de Fundamentos Físicos de la Edificación I.

Importancia
Nos ayuda a calcular los valores máximos y mínimos (extremos)de una función de 2 ó más variables. Es decir, nos dice en qué punto es esta función máxima y/ó mínima. Se puede usar dentro del área de optimización.
El vector gradiente nos muestra el cambio dedirección y magnitud, ya sea de crecimiento de la función o cuando esta decrece. Con estos cambios podemos ver la taza de cambio entre las variables, digamos en una función f(x, y) el diferencial dx/dy.Aplicación
Se utiliza para calcular las derivadas direccionales, y extremos de funciones de 2 o más variables. También el vector gradiente puede llegar a ser la mejor aproximación lineal de lafunción en un punto (a, b).
Se utiliza en la física en los procesos de conducción de calor en una dimensión. El flujo de calor a través de la superficie S, por una unidad de tiempo dQ/dt se expresa como:dQ/dt = -kS (dT/dx)
donde dT/dx es el gradient de la temperatura representando físicamente la variación de la temperatura (T) en la dirección del eje x.
También se aplica en la física con la...