Gu A N 7 1

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Ejercicios de
Funciones de Variable Compleja y
Geometría Diferencial
Martín Rivas
e-mail:martin.rivas@ehu.es
http://tp.lc.ehu.es/martin.htm
Departamento de Física Teórica
UPV/EHU
Leioa, Febrero 2008

2

Capítulo 1

Operaciones con números complejos
Sea z ∈ C, un número complejo arbitrario que lo escribimos de la forma z = x+iy , con x, y ∈ R, de
tal manera que x =Re z e y = Im z , son la parte Real y parte Imaginaria de z , respectivamente.
Con los números complejos podemos hacer las siguientes operaciones:

Suma
Producto
Conjugación
Valor absoluto
Distancia entre complejos

:

z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),

:
:

z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
z → z¯, z¯ = x − iy,
√
z | = z z¯ ≥ 0,
|z| = x2 + y 2 = |¯
d(z1 , z2 ) = |z1 − z2 | = |z2 −z1 | ≥ 0.

:
:

Además, la suma y el producto son operaciones conmutativas y asociativas

z1 + z2 = z2 + z1 ,

z1 z2 = z2 z1 ,

z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 = z1 + z2 + z3 ,

z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 = z1 z2 z3 ,

y satisfacen entre ellas las operaciones de distributividad:

z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 .
La conjugación `respeta' a las dos operaciones suma y producto y al valor absoluto:

(z1+ z2 ) = z¯1 + z¯2 ,

(z1 z2 ) = z¯1 z¯2 ,

|z| = |¯
z | = |z|.

Las potencias enteras del complejo i son i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1 y las demás se reducen a éstas.
Solamente existe un complejo z = 0, si y solo si x = y = 0, y los números reales son precisamente
aquellos números complejos que son idénticos a sus complejos conjugados.

z = z¯,

⇐⇒

z ∈ R.

El valor absoluto satisface |z1 z2 | =|z1 ||z2 | y las:

desigualdades triangulares |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |,
Fórmula de Euler

|z1 − z2 | ≥ ||z1 | − |z2 || .

ez ≡ ex+iy = ex (cos y + i sin y)

Teorema de De Moivre
Si el complejo z se escribe como z = r(cos θ + i sin θ), z = reiθ , el producto aparece como z1 z2 =
r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) , y las potencias z n = rn einθ , entonces

z n = rn (cos nθ + i sin nθ).
n

Como resulta que eiθ =einθ , entonces (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ, de donde se pueden
obtener todas las reglas trigonométricas de los ángulos múltiples y ángulos fraccionarios.
3

4

CAPÍTULO 1. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Problemas
1.1 Vericar las operaciones siguientes, tanto en su forma ordinaria como usando la forma polar de
los números complejos que se indican:
5i
= 1 + 2i, (−1 + i)7 = −8(1 +i).
2+i
√ √
√
√
√
i(1 − i 3)( 3 + i) = 2 + 2i 3, (1 + i 3)−10 = 2−11 (−1 + i 3),

1.2 Describir geométricamente cada una de las regiones del plano complejo
a) −π < arg z < π, |z| > 3;
b) 1 < |z − 2i| < 2;
c) |2z + 3| > 5;
d) Im(z 2 ) > 0 y Im(z 2 ) ≥ 0;
e) Re z1 ≤ 12 ;
f) |z − 3| > |z|.

1.3 Indicar qué representan geométricamente las siguientes ecuaciones y desigualdades:
{a} |z − 1 − i| = 1,

{b}|z − 1| = |z + i|,

1.4 Si z = 6eiπ/3 , evaluar |eiz |. [Sol. e

{c} |z − 1 + i| ≥ |z − 1 − i|,

√
−3 3

{d} |z + 4i| + |z − 4i| = 10.

]

1.5 Encontrar todas las soluciones de los sistemas de ecuaciones:
a)

|z − 12|
5
= ,
|z − 8i|
3

y

b)
[Sol. z1 = 6 + 17i,

|z + 1 + i|
= 1.
|z − 1 − i|

|z 2 − 2i| = 4,

z2 = 6 + 8i y z1 = 1 − i,

|z − 4|
= 1,
|z − 8|

z2 = −1 + i.]

1.6 Encontrar todas lassoluciones de cada una de las 8 ecuaciones:
z 2 = i;
z 7 + 1 = 0;

z 2 = 3 − 4i;
z 8 = 1 + i;

z 3 = −1;
z¯ = z 3 ;

z 6 = 64;

|z| − z = 1 + 2i;

1.7 Encontrar para qué valores de z se satisface la ecuación
cos(z − i) = 2.
Resolver asímismo la ecuación
3

[Sol.z = 2kπ + i(1 − ln(2 ±

√

(z − 1 + i)(z − 1)2 = z.

3)), k ∈ Z y z1 = (1 − i)/2 y z2 = (3 + i)/5][Parcial Abril 2004]

1.8 Demostrar lasfórmulas siguientes:
(1 + cos α + i sin α)2n
1 + i tan α
1 − i tan α

=

n

=

α 2n inα
e ,
2
1 + i tan nα
,
1 − i tan nα
2 cos

Sugerencia: Escribir esas relaciones en términos del ángulo mitad.

1.9 Demostrar que no hay ningún valor de z para el cual la función ez se anula. Asímismo, demostrar
que

|ez | = eRe z

y que

ez+2πi = ez .

5

1.10 Encontrar todas las soluciones de la ecuación
5i
.
3...