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LUGARES GEOMÉTRICOS

Lugar geométrico (L.G) es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen con una condición dada. Es decir, todo L.G. presenta las siguientes características:

1. es un conjunto de puntos.

2. todos los puntos cumplen con una misma propiedad que lo caracteriza.

El L.G. puede ser una linea curva, una recta, un plano, una superficie curva, etc. y a veces elmismo conjunto de puntos puede satisfacer más de una propiedad.

Iniciemos determinando los puntos de un plano que están a una distancia dada "a" de un punto P del mismo plano.
Vemos que los puntos que cumplen con esta condición son los que forman parte de la circunferencia de centro P y radio a.

Luego, la circunferencia es el L.G. de todos los puntos del plano que están a una distanciadada de un punto dado.

Geometría analítica de la recta en el plano

La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría. En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar las valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo las de un problema de geometría.

Ecuación de la recta [editar]

Tomados dospuntos de una recta, la pendiente [pic], es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación: [pic]
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente:
|[pic] |

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dospuntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.

Forma simplificada de la ecuación de la recta [editar]

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y2 −y1 = m(x2 − x1):
|[pic] |
|[pic] |
|[pic] |
| |

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen apartir de una ecuación dada.

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica) [editar]

Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la abscisa al origen se le puede llamar a. Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:
|[pic]y[pic] |

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:
|[pic] |

Después se sustituye en la ecuación y2 − y1 = m(x2 − x1), usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):
|[pic] |
|[pic] |
|[pic]|

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente ab:
|[pic] |

|[pic] |

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocerlos puntos donde dicha recta intersecta a los ejes.

Forma normal de la ecuación de la recta [editar]

Esta es la forma normal de la recta:
|[pic] |

Donde k que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.

|[pic] |

Sacando raiz cuadrada a la...