Guia De Multi

Guía de Ejercicios Nº 4
Cálculo Multivariable
1.- Utilizar la definición para hallar f x x ; f y y y f x y en los puntos indicados :
a) fx, y  3x 3 y  5 y 2 x en 2, 4
b) fx, y  y 2 lnx − x 2  1 en 1, 1
xy
c) fx, y  sen
en , 0
2
2.- Emplear las reglas de diferenciación para hallar f
a) fx, y  10x 4 y 4  y 3 − x 3  4
b) fx, y  x 2  y 2  lnx 2 y 2 
c) fx,y  cosx 3 − y 3 
d) fx, y  y e x−1 − xe y1  sene x  e y 
xy
−xy
e) fx, y  tgx 2  y 2   e xy − e −xy
e e
f) fx, y  tg −1 5y − 2x

xx

;f

xy

; fy y ; f

3.- Verificar la igualdad de las derivadas parciales mixtas f x y y f y x
a) fx, y  x 3 y 4  xy 5 − x 2 y 3
b) fx, y  x 2 lny − y 2 lnx
4.- Verificar la igualdad de las derivadas parciales f xxy; f xyx ; f yxx ; f yyx
f yxy y f xyy de las siguientes funciones
a) fx, y  e xy b) fxy  cosx 3  y 3 
5.- Hallar la diferencial total de las funciones que se indican
a) z  y 3  x 2 y  4
senx
b) z  x 2 ln y  x − y
c) z  x − 5y  3
d) f,    3 cos2sen3
x
e) fx, y, u, v  senxy − uv  xe2
y
6.- Analizar si las siguientes funciones son diferenciables en 0,0
y2x
si x, y ≠ 0, 0
y4  x2
a) fx, y 
0
x2  y2
xy

si x, y ≠ 0, 0

0

b) fx, y 

si x, y  0, 0

si x, y  0, 0

7.- Dadas las siguientes funciones, hallar las derivadas parciales que
se indican
a) z  3u 3  4v 5 ; u  x  y ; v  e 2x − e 4y ; ∂z ; ∂z
∂x ∂y

yx

b) z  cosu 3  v 3  ; u  1 ; v  1 ; ∂z ; ∂z
x
y ∂x ∂y
c) z  u 2 ln v ; u  x y 2 ; v  x2 ; ∂z ; ∂z
∂x ∂y
y
r  s ; r  t 2 ; s  k 2 ; ∂z ; ∂z
d) z  r − s
2t
k
∂k ∂t
e) w  xe y  ye z − ze x ; x  4 ; y  tg r ; z  lnrt ; ∂w ; ∂w
t
∂r
∂t
8.- Evaluar ∂z ; ∂z según los valores de x e y dados
∂x ∂y
a) z  lnue v  ; u  x  1; v  y 2 − x ; x, y  1, 0
b) z  uv  uw  vw ; u  cos x ; v  sen y ; w  xy ; x, y    ; 
2
dy
d2y
y
en lospuntos que se indican :
dx
dx 2
a) x 2 − 3xy  2x − 8  0 ; −1, 3
b) 2y − sen 2 y  cos x  2 −   0 ; , 
2
9.- Evaluar

10.- Evaluar ∂z ; ∂z en los puntos que se indican :
∂x ∂y
a) yz − xy  z 2 − x 2  0 ; 1, 1, 1
b) z  senz  cosx − seny  −1 −  ; 0,  , − 
2
2
2
11.- Hallar

dz
dy
y
si el sistema
dx
dx

fx, y, z  0

define
gx, y, z  0
implicitamentelas funciones y  yx y z  x . Evaluar dichas
derivadas en p 0  x 0 , y 0 , z 0  :
x − 2y  2z  0
; p 0  0, 1, 1
a)
4x  y − 6z  5  0
b)

x2 − z2 − y  0
x3  z3  y3  0

; p 0  −2, 0, 2

12.- Hallar ∂u ; ∂u ; ∂v y ∂v si el sistema
∂y ∂x
∂y
∂x

fx, y, u, v  0

gx, y, u, v  0
define implicitamente las funciones u  ux, y y v  vx, y
sen x − cos y u 2  v 2  0
2 cos x  seny − 3u  5v  0

13.- Si el sistema

fx, y, u, v  0

define implicitamente
gx, y, u, v  0
las funciones a) u  ux, y y v  vx, y ; b) x  xu, v y y  yu, v
hallar las derivadas que se indican

2uv − xy  0

∂y
en a) ∂u ; ∂v y b) ∂x ;
∂v ∂v
∂x ∂x

u  v  y − 3x  0
2

5

3

14.- Sea el sistema
u − x  2y  0
v  2x  3yw

quedefine implicitamente las funciones u  ux, y ;

e w  −x
v  vx, y y w  wx, y evaluar ∂u ; ∂v y ∂w en p 0  −1, 0, −1, 2, 0
∂y ∂y
∂y
15.- Calcular la derivada direccional de las siguientes funciones, empleando
el vector gradiente, según los ángulos y puntos indicados.
a) fx, y  x 3 − y 3  x 2 − y  2 ,   11 en 1, 0
6
b) fx, y  e xy cos x ,   7 en , 1
4
16.-Evaluar a derivada direccional de las siguientes funciones según las
direcciones y puntos indicados
3
a) fx, y  x − 2x  3y  4 , w  −3 i  4 j en 0, −4
y
b) fx, y  x 2 e y − y 2 e x , w 

3 i − j en 0, 5

c) fx, y, z  1  lnz  y  x  , v 
2

2

2

d) fx, y, z  zy 2 1  6x 2 ; v 

2
2

i

1
2

i
2
2

1
2

j−

j
2
2

k en −1,...