Guia Nro. 1 De Los Naturales a Los Reales
Páginas: 7 (1584 palabras)
Publicado: 2 de abril de 2012
DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES
Al iniciar el estudio de los conjuntos numéricos, se presenta una idea simple, pero fundamental : contar. Ligado a esta idea existe un universo numérico llamado números naturales, que se designan con la letra IN: IN œ Ö"ß #ß $ß %ß &ß 'ß (ß )ß *ß ÞÞÞ× c Todo número natural tiene un sucesor, por ejemplo : el sucesor de 23 es 24 c Todo número natural excepto el1 tiene antecesor , por ejemplo : el antecesor de 108 es 107 c Entre dos números naturales consecutivos no existe otro número natural, por ejemplo: entre el 13 y 14 no existe otro número natural. Avanzando un poco más y reconociendo la importancia del cero como número, "se agrega" este elemento al conjunto h, formando un nuevo conjunto de números llamado Cardinales, IN! À IN! œ Ö!ß "ß #ß $ß %ß &ß'ß (ß )ß *ß ÞÞÞ× Al efectuar operaciones de suma aadiciónb o multiplicación entre elementos de estos conjuntos se ve fácilmente que no hay dificultad : Si sumamos dos números naturales el resultado es un número natural, por ejemplo & b ( œ "# Si multiplicamos dos números naturales el resultado es un número natural, por ejemplo 4 † 6 œ 24 Sin embargo la resta de dos números naturales en algunoscasos no está definida, por ejemplo ") c ' œ "# anúmero naturalbß pero ' c ") œ ? Para enfrentar situaciones como esta última, el hombre "inventa" nuevos números que le permitan seguir avanzando en su conocimento. Así crea los números enteros ™: ™ œ ÖÞÞÞ c %ß c $ß c #ß c "ß ! ß "ß #ß $ß %ß ÞÞÞ× Todo número entero situado a la derecha de otro es mayor que él a b À Por ejemplo : c # es mayor que c %! es mayor que c & a c # c %b
a ! c &b
El inverso aditivo del entero "+" es " c + "ß por ejemplo : el inverso aditivo de el inverso aditivo de % es c % c "! es b "!
Para sumar dos números enteros de igual signo se suman sus valores y se conserva el signo de ellos, por ejemplo: a b %b b a b "!b œ b "% a c 'b b a c )b œ c "%
Para sumar dos números enteros de distinto signo serestan sus valores y se conserva el signo del mayor de ellos, por ejemplo: a b %b b a c #!b œ c "'
a c "#b b a b $!b œ b ") La resta de dos números enteros "+" y "," es igual a la suma de "+" y el inverso aditivo de ",", es decir : + c , œ + b a c ,b, por ejemplo:
a b &b c a b %b œ a b & b b a c % b œ b "
a c 'b c a b "#b œ a c 'b b a c "#b œ c ") a c $b c a c "&b œ a c $b b a b "&b œ b "#Para la multiplicación de números enteros, es necesario tener presente que: abb†abbœ abb†acbœ acb†acbœ acb†abbœ b c b c
Ê
Regla de los signos
La multiplicación de números enteros da como resultado también un número entero, por ejemplo: a b &b † a b %b œ b #! a c "#b † a c %b œ b %) a c 'b † a b "#b œ c (#
Ejercicios Propuestos 1.+Ñ ,Ñ -Ñ .Ñ Obtenga el resultado de: a c #b c a b $ b b a c) b œ a&b c a c %b b a"#b œ a'b b a c $b c a c "!b œ
a #b c a $ b b a c ' b œ
2.+Ñ ,Ñ -Ñ .Ñ
Obtenga el resultado de: c $ † Ò# b a c &bÓ œ
( † Ò! c a# b %bÓ œ
") † Ò#& c a b "#bÓ œ Ò& b a c )bÓ † Ò c ' c a& † a# b a c "bbbÓ
Soluciones 1.2.a) c "$ a)* b)#" b)#$% c)"$ c) c %# d) c ( d)$$
Al plantear la necesidad de dividir números enteros surge un problema : el cuociente de dosnúmeros enteros no siempre es otro número entero. 8ƒ4œ 5ƒ2œ ) œ #ß % & œ ... ß # # pertenece ™ & no pertenece ™ #
Para dar solución al problema, se "amplió" el conjunto ™ de los enteros formándose así un nuevo conjunto; el de los números racionales k.
k es el conjunto de los números de la forma número natural k œÖ + Î + − ™ y , − IN × ,
+ ß siendo + un número entero y , un ,
+ sellama numerador , se llama denominador
Ejemplos: " c$ ß ß & % ( ß ) #& ß $ $ ß "!!! c" ß # )ß c $ ß ÞÞÞ
Por supuesto, los números enteros están incluídos en k. Así, el número entero $ puede $ ' * tomar la forma racional o bien ß ß etc. " # $ Al efectuar la división entre dos números enteros, se obtiene un "desarrollo decimal". Por ejemplo para obtener el desarrollo decimal correspondiente a "...
Al iniciar el estudio de los conjuntos numéricos, se presenta una idea simple, pero fundamental : contar. Ligado a esta idea existe un universo numérico llamado números naturales, que se designan con la letra IN: IN œ Ö"ß #ß $ß %ß &ß 'ß (ß )ß *ß ÞÞÞ× c Todo número natural tiene un sucesor, por ejemplo : el sucesor de 23 es 24 c Todo número natural excepto el1 tiene antecesor , por ejemplo : el antecesor de 108 es 107 c Entre dos números naturales consecutivos no existe otro número natural, por ejemplo: entre el 13 y 14 no existe otro número natural. Avanzando un poco más y reconociendo la importancia del cero como número, "se agrega" este elemento al conjunto h, formando un nuevo conjunto de números llamado Cardinales, IN! À IN! œ Ö!ß "ß #ß $ß %ß &ß'ß (ß )ß *ß ÞÞÞ× Al efectuar operaciones de suma aadiciónb o multiplicación entre elementos de estos conjuntos se ve fácilmente que no hay dificultad : Si sumamos dos números naturales el resultado es un número natural, por ejemplo & b ( œ "# Si multiplicamos dos números naturales el resultado es un número natural, por ejemplo 4 † 6 œ 24 Sin embargo la resta de dos números naturales en algunoscasos no está definida, por ejemplo ") c ' œ "# anúmero naturalbß pero ' c ") œ ? Para enfrentar situaciones como esta última, el hombre "inventa" nuevos números que le permitan seguir avanzando en su conocimento. Así crea los números enteros ™: ™ œ ÖÞÞÞ c %ß c $ß c #ß c "ß ! ß "ß #ß $ß %ß ÞÞÞ× Todo número entero situado a la derecha de otro es mayor que él a b À Por ejemplo : c # es mayor que c %! es mayor que c & a c # c %b
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El inverso aditivo del entero "+" es " c + "ß por ejemplo : el inverso aditivo de el inverso aditivo de % es c % c "! es b "!
Para sumar dos números enteros de igual signo se suman sus valores y se conserva el signo de ellos, por ejemplo: a b %b b a b "!b œ b "% a c 'b b a c )b œ c "%
Para sumar dos números enteros de distinto signo serestan sus valores y se conserva el signo del mayor de ellos, por ejemplo: a b %b b a c #!b œ c "'
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a b &b c a b %b œ a b & b b a c % b œ b "
a c 'b c a b "#b œ a c 'b b a c "#b œ c ") a c $b c a c "&b œ a c $b b a b "&b œ b "#Para la multiplicación de números enteros, es necesario tener presente que: abb†abbœ abb†acbœ acb†acbœ acb†abbœ b c b c
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Regla de los signos
La multiplicación de números enteros da como resultado también un número entero, por ejemplo: a b &b † a b %b œ b #! a c "#b † a c %b œ b %) a c 'b † a b "#b œ c (#
Ejercicios Propuestos 1.+Ñ ,Ñ -Ñ .Ñ Obtenga el resultado de: a c #b c a b $ b b a c) b œ a&b c a c %b b a"#b œ a'b b a c $b c a c "!b œ
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2.+Ñ ,Ñ -Ñ .Ñ
Obtenga el resultado de: c $ † Ò# b a c &bÓ œ
( † Ò! c a# b %bÓ œ
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Soluciones 1.2.a) c "$ a)* b)#" b)#$% c)"$ c) c %# d) c ( d)$$
Al plantear la necesidad de dividir números enteros surge un problema : el cuociente de dosnúmeros enteros no siempre es otro número entero. 8ƒ4œ 5ƒ2œ ) œ #ß % & œ ... ß # # pertenece ™ & no pertenece ™ #
Para dar solución al problema, se "amplió" el conjunto ™ de los enteros formándose así un nuevo conjunto; el de los números racionales k.
k es el conjunto de los números de la forma número natural k œÖ + Î + − ™ y , − IN × ,
+ ß siendo + un número entero y , un ,
+ sellama numerador , se llama denominador
Ejemplos: " c$ ß ß & % ( ß ) #& ß $ $ ß "!!! c" ß # )ß c $ ß ÞÞÞ
Por supuesto, los números enteros están incluídos en k. Así, el número entero $ puede $ ' * tomar la forma racional o bien ß ß etc. " # $ Al efectuar la división entre dos números enteros, se obtiene un "desarrollo decimal". Por ejemplo para obtener el desarrollo decimal correspondiente a "...
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