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Páginas: 2 (309 palabras)
Publicado: 18 de septiembre de 2015
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CLAIRAUT.
La estructura de la ecuación es de la forma
( )
Esta ecuación llamada así en honor al matemático frances Alexis Clairaut
quien fue el primero en estudiarla seresuelve mediante una sustitución
simple
donde p es una función a encontrar para sustituir en la
ecuación
original
y
resolverla.
Lo interesante de esta ecuación diferencial es que tiene una familia desoluciones (solución general) y una solución singular (solución que no
pertenece a la familia de soluciones).
Solucionemos la ecuación de CLAIRAUT. Al realizar la sustitución del cambio
de variable
laecuación de CLAIRAUT, se expresa como
( )
Derivan la ecuación con respecto a x,
De donde
Eliminando p
factorizando
ESP. DANIEL SAENZ C
Página 1
(
)
Con lo que se tiene
Ahora, si
entonces p= C donde C es una contante y
la solución de la ecuación es
( )
Pero si ,
, se obtiene una solución singular, ya que f es
una función de x.
Veamos un ejemplo. Resolver la ecuación diferencial deCLAIRAUT.
( )
donde
Al reemplazar se obtiene
Derivando con respecto a x,
ESP. DANIEL SAENZ C
Página 2
(
Ahora, si
)
entonces p = C donde C es una contante y
la solución de la ecuación esAhora, si
entonces como
se tiene que
donde
Integrando
∫
∫
Derivando con respecto a x, se tiene que
ESP. DANIEL SAENZ C
Página 3
Reemplazamos
p
en
Para obtener la solución
(
)
(
)
Segundoejemplo. Resolver la ecuación diferencial de CLAIRAUT.
(
)
(
)
Realizando el cambio de variable, se tiene.
Despejando y,
Derivando con respecto a x
Reemplazando p = dy/dx
Eliminando p
ESP.DANIEL SAENZ C
Página 4
Multiplicando por
Agrupando términos
(
)
(
)
Factorizando
(
)
(
(
)
)(
)
De donde
(
)
(
)
Si
Se tiene que
ESP. DANIEL SAENZ C
Página 5
Reemplazando en
Sellega a
(
)
(
)
Ahora si se cumple que
√
Reemplazando en
(√
)
√
(√
(
)
)
√
√
√
√
√
ESP. DANIEL SAENZ C
√
Página 6
√
ACTIVIDAD. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de...
La estructura de la ecuación es de la forma
( )
Esta ecuación llamada así en honor al matemático frances Alexis Clairaut
quien fue el primero en estudiarla seresuelve mediante una sustitución
simple
donde p es una función a encontrar para sustituir en la
ecuación
original
y
resolverla.
Lo interesante de esta ecuación diferencial es que tiene una familia desoluciones (solución general) y una solución singular (solución que no
pertenece a la familia de soluciones).
Solucionemos la ecuación de CLAIRAUT. Al realizar la sustitución del cambio
de variable
laecuación de CLAIRAUT, se expresa como
( )
Derivan la ecuación con respecto a x,
De donde
Eliminando p
factorizando
ESP. DANIEL SAENZ C
Página 1
(
)
Con lo que se tiene
Ahora, si
entonces p= C donde C es una contante y
la solución de la ecuación es
( )
Pero si ,
, se obtiene una solución singular, ya que f es
una función de x.
Veamos un ejemplo. Resolver la ecuación diferencial deCLAIRAUT.
( )
donde
Al reemplazar se obtiene
Derivando con respecto a x,
ESP. DANIEL SAENZ C
Página 2
(
Ahora, si
)
entonces p = C donde C es una contante y
la solución de la ecuación esAhora, si
entonces como
se tiene que
donde
Integrando
∫
∫
Derivando con respecto a x, se tiene que
ESP. DANIEL SAENZ C
Página 3
Reemplazamos
p
en
Para obtener la solución
(
)
(
)
Segundoejemplo. Resolver la ecuación diferencial de CLAIRAUT.
(
)
(
)
Realizando el cambio de variable, se tiene.
Despejando y,
Derivando con respecto a x
Reemplazando p = dy/dx
Eliminando p
ESP.DANIEL SAENZ C
Página 4
Multiplicando por
Agrupando términos
(
)
(
)
Factorizando
(
)
(
(
)
)(
)
De donde
(
)
(
)
Si
Se tiene que
ESP. DANIEL SAENZ C
Página 5
Reemplazando en
Sellega a
(
)
(
)
Ahora si se cumple que
√
Reemplazando en
(√
)
√
(√
(
)
)
√
√
√
√
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ESP. DANIEL SAENZ C
√
Página 6
√
ACTIVIDAD. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de...
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