GuiadeaprendizajeNdeg6 BAIN037

Instituto de Matemática

CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BÁSICAS PARA INGENIERÍA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA

Universidad Austral de Chile

GUÍA DE APRENDIZAJE N°6
BAIN037 CÁLCULO I PARA INGENIERÍA

Resultados de
Aprendizaje

- - Resuelve problemas simples en el área de la geometría y la física
utilizando sumas de Riemann y propiedades de la Integral Definida.
- - Utiliza diferentestécnicas que permiten calcular integrales indefinidas o
primitivas.
- - Aplica el Teorema Fundamental del Cálculo o el teorema de cambio de
variables para integrales definidas para obtener el valor de integrales
definidas, cuando corresponde.
-

1. Integral de Riemann.
2. Teoremas Fundamental del Cálculo.
3. Técnicas de Integración.

Contenidos
1. Integral de Riemann

Definición:
Si f es una funcióndefinida en un intervalo cerrado  a, b y x0 , x1 ,..., xn son puntos del intervalo

 a, b tales que
a  x0  x1  ...  xn1  xn  b,

Si además xi  xi  xi 1 , P = máx xi y xi*   xi , xi 1  , entonces la Integral de Riemann o
Integral definida de f , desde a hasta b , es



b

a

f  x dx  l í m  f  xi* xi si es que el límite existe.
n

P 0

i 1

En tal caso se dirá que lafunción f es integrable en  a, b .

ba
y los puntos xi* se
n
ba
escogen como el extremo derecho de cada intervalo  xi 1 , xi  , entonces xi*  a  i
y se tiene
n
que
b
ba n 
ba
f
x
dx

l
í
m
f a i




a
n 
n i 1 
n 
Si en particular, los puntos x0 , x1 ,..., xn son equidistantes, entonces xi 

1

Centro de Docencia de Ciencias Básicas para Ingeniería – Área de MatemáticasGuía de aprendizaje N° 6

Ejemplo:



b

a

ba n 
ba 
x dx  l í m
a i



n 
n i 1 
n 

2

2

2
n
 b  a  n 2 n
ba 
ba  2 
 lí m
   a   2a 
i  
i 
n 
 n   i 1
 n  i 1  n  
i 1

 b  a  2
ba n
ba
 lí m
na

2
a
i 






n 
 n  
 n  i 1  n 

2

n

i

2

i 1






1 (b  a) 2
1
1 
 l í m(b  a)  a 2  a(b a)(1  ) 
(1  )(2  ) 
n 
n
6
n
n 


(b  a)2  b3  a 3
 (b  a)  a 2  a(b  a) 
 2 
.
6
3


1
1
En particular  x 2 dx  .
0
3
En general, se obtiene que:



b

a

b2  a 2
,
xdx 
2



b

a

b3  a 3
x dx 
, …,
3
2



b

a

b n 1  a n 1
x dx 
, n  1
n 1
n

Integrabilidad:
Sea f :  a, b  ,
1. Si f es continua en  a, b , entonces f es integrable en  a, b.
2.Si f es monótona en  a, b , entonces f es integrable en  a, b.
Observaciones


Si f es discontinua en ciertos puntos de  a, b , entonces



tiene sólo una cantidad finita de discontinuidades y todas son de salto, entonces f se dice
continua a trozos y es integrable.
Para hablar de integrabilidad según Riemann, la función al menos debe ser acotada en el
intervalo  a, b .

Ejemplos:
1.Las funciones polinómicas son continuas en

 a, b  

 f  x dx
b

a

podría existir o no. Si

, por lo tanto son integrables en cualquier intervalo

.

Centro de Docencia Ciencias Básicas para Ingeniería– Área de Matemáticas

2

Guía de aprendizaje N° 5

2.

Las funciones racionales son continuas en cualquier intervalo cerrado contenido en su dominio.
x
Por ejemplo, el dominio de la función f x  
es  1, 2 de donde podemos
 x  1 x  2 
concluir que f es integrable en  3,0 y también lo es en el intervalo [5 / 2,10] . Observemos que
f no es acotada en [0,3 / 2] , por lo tanto no sería integrable en el sentido de Riemann. Más

adelante, veremos como tratar este tipo de casos.

3. La función

 x 1
f  x  
2  x

0  x 1
es integrable en 1,5 ya que es continua a trozos1 x  5

si
si

y los límites lím f  x  , lím f  x  , existen y son finitos (discontinuidad de salto).
x 1

x 1

Ejercicios Propuestos
1. Determine cuál(es) de las siguientes funciones es (son) integrables en  0, 2 . Justifique.
a)

f  y   y 2 seny

b)

g  x   tan x

c)

f    sec( )

d)

h  t   t 2  2t  1

e)

( x  1) 2
f  x  
 1

, x  1 si x  1
, x  1 si...