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BAIN 042 Cálculo II para Ingeniería
GUIA DE EJERCICIOS: CÁLCULO DIFERENCIAL

(I) CURVAS, SUPERFICIES Y FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
1. a) En el instante t una partícula tiene vector posición ⃗( ) (
).
Compruebe que la trayectoria es una parábola y grafíquela.
b) ¿En qué instante se encuentra en el punto (
), y cuál es su rapidez?

R: t = 5; √

2. Calcule el vector velocidad y larapidez para cada una de las trayectorias:
a) ⃗( ) (
)
R: (
b) ⃗( )

(√

)

R: (

√

)

√

)

3. Compruebe que la curva definida por r (t )  (t cos t , 2t sin t , t ) está contenida en un cono.
Grafique el cono y la curva.
R: El cono es 4 x2  y 2  4 z 2  0
4. Halle la ecuación de la esfera que tiene centro en (1, -1, 5) y es tangente al plano de ecuación
x  2 y  2 z  3 0.
R : x2  y 2  z 2  2 x  2 y  10 z  11  0.
5. Halle y analice las trazas de las superficies siguientes:
a)
b)
6. Identifique y grafique las superficies siguientes:
a)
b)
c)
d)
e)

R: Hiperboloide de 2 hojas
R: Elipsoide
R: Cilindro Hiperbólico
R: paraboloide Elíptico
R: Cono Circular

(II) NOCIONES DE ESPACIO MÉTRICO. LÍMITES Y CONTINUIDAD
7.- Para la región del plano:D  {( x, y)  2 / 9 x 2  4 y 2  24 y  36  3  y  6} determine su frontera e
indique si D es un conjunto compacto.
R: Fr( D)  {( x, y)  2 / (9 x2  4 y 2  24 y  36  3  y  6)  ( y  6   2  x  2)}
D es compacto, pues es cerrado (ya que Fr( D)  D ) y es acotado (ya que D  D7 (0, 0) )
8.- Sea A 

2

, A  ( x, y) 

2

/ x 2  4 y 2  2 x  3  0  x  0 .

a)Grafique A.
b) A no es un conjunto abierto, explique por qué.
c) ¿Es A un conjunto acotado? Justifique.

9.- Para la función real de dos variables: f ( x, y)  x 2  9 y 2 :
a) Determine su dominio (D). Grafique D (en el plano) y grafique f (en el espacio).
b) Halle frontera de D, e indique si es un conjunto cerrado. ¿Es D conjunto acotado?
10.- Calcule los límites siguientes, si existen:

x2 y 2  5
lim
a)
( x , y ) (3,4) 25  x 2  y 2
1  cos( xy )
b)
lim
( x , y ) (3,0)
x2 y 2
x 4  3x 2 y 2  4 xy 3
c) lim
( x , y ) (0,0)
( x 2  y 2 )2

1
10
1
R:
2

R: 

R: No existe

11.- Determine dominio de continuidad de las funciones siguientes:
R: {( x, y) 

2

/ x 2  y 2  0}

R: {( x, y) 

a) f ( x, y)  x 2  y 2
xy
b) g ( x, y ) 
4  x2  y2

2

/ x 2  y 2  4}

 xy 2
;( x, y )  (0, 0)

c) h( x, y )   x 2  y 2
0
;( x, y )  (0, 0)

12.- Determine si las siguientes funciones son continuas en los puntos indicados:

R:

2

a) f ( x, y)  x x 2  y 2 ; P(1,1)

R: Sí.

 sin( x 2  y 2 )
;( x, y )  (0, 0)

b) g ( x, y )   x 2  y 2
; P(0, 0)
 0
;( x, y )  (0, 0)


R: No.

(III) DERIVADASPARCIALES. DIFERENCIABILIDAD
13.- Calcule

, si

a)

(

)

b)

(

)

c)

(

)

√

14.- Calcule las derivadas
a)

(

)

b)

(

)

15.- Sea (
a) Calcule

en los puntos indicados
(

√

)(

(

)

{
(

)

) (

R:

(

)

(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

) para todo (x,y) en Dom(f).

 4 xy 2
fR:  x, y    ( x 2  y 2 )2 ,  x, y    0, 0 

x

0,
 x, y    0, 0 


b) Analice la continuidad de f  x, y  en (0,0).

R: No es continua

x

16.- Pruebe que la función (

)

{

no es continua en (0,0), pero que sí tiene

derivadas parciales en ese punto. ¿Es diferenciable allí?
R: (

(

)

. g no es continua en (0,0)

lim g(x, y) NO EXISTE (pory = 0 el límite es 0, por y = x el límite es 1)

(x, y) (0,0)

→

pues

)

17.- Determine una función F(x,y) en los casos siguientes:
(

a)

)

R:
(

b)
18.- a) Si

)

R:

(

)

pruebe que

b) Pruebe que
19.- a) Para cada una de las funciones del ejercicio 13 encuentre la ecuación del plano tangente en el punto
indicado.
i) (0,π)
R:
ii) (2,1)
R: 8x - 16y +...