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PARÁBOLA

Una parábola es el conjunto de puntos [pic]en el plano que equidistan de un punto fijo [pic](llamado foco de la parábola) y de una recta fija [pic](llamada la directriz de la parábola) que no contiene a [pic](figura 1).

[pic]
Figura 1

El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice, la recta que pasa por el foco y por el vértice se llamaeje de la parábola.Se puede observar en la figura 1 que una parábola es simétrica respecto a su eje.

Teorema (ecuación canónica de la parábola)
La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice [pic]y directriz [pic]es
[pic]

El eje de la parábola es vertical y el foco [pic]está a [pic]unidades (orientadas) del vértice. Si [pic], la parábola abre hacia arriba y el foco está en[pic]; si [pic],  la parábola abre hacia abajo y el foco está en [pic].
Si la directriz es [pic](eje horizontal), la ecuación es
[pic]

El eje de la parábola es horizontal y el foco [pic]está a [pic]unidades (orientadas) del vértice. Si [pic], la parábola abre hacia la derecha y el foco está en [pic]; si [pic],  la parábola abre hacia la izquierda y el foco está en [pic].
Ejemplo
Trazar lagráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es
[pic]
Solución
Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en a. De la ecuación de la parábola tenemos que

[pic]

De donde obtenemos que [pic]y el vértice [pic], por lo tanto, la parábola abre hacia la derecha y tiene el foco en [pic], la recta directriz es [pic]. Lagráfica se muestra en la figura 2.
 

[pic]

PENDIENTE DE UNA RECTA

[pic]
Figura1. Pendiente de una carretera
 La pendiente es la inclinación de una recta. Una forma de calcular la pendiente de una recta usando la siguiente fórmula. Dado dos puntos (x1,y1), (x2,y2),que están en una recta L,  la inclinación o la pendiente m de la recta de determina mediante
  m =    y2 - y1
             x2 -x1
La pendiente  es la razón de cambios  de x  y  y. . Esta  puede ser positiva, negativa, puede ser 0 y en algunos casos, la pendiente esta indefinida.
Ejemplo1: Buscar la pendiente de los puntos (2,4) y (3,6)
 
    m  =    y2 - y1   = 6 - 4   = 2  = 2
                x2 - x1      3 - 2      1
La pendiente es 2.

 A veces, tenemos dos puntos, y queremos hallar la ecuación de la rectaque pasa por estos puntos. Primero, hay que determinar la pendiente de la recta, y para hallar la ecuación, utilizamos la ecuación  y = mx + b   donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto de b.
 
Ejemplo: Buscar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,5) y (0,9).
M =  y2 - y1   = 9 - 5   = 4  = -4
        x2 - x1       0 - 1     -1
La pendiente es -4. Ahora, hay quebuscar el intercepto en y.  En este caso, ya está dado por (0,9)
Si la pendiente es -4, y el intercepto (0,9) entonces la ecuación es:
y = -4x + 9
Nota: Para buscar el intercepto en y, hay que siempre fijarse que la ecuación este en su forma 
y = mx + b. Si no lo esta, hay que expresarla respecto a y.
Forma punto - pendiente
Hay otra manera para buscar una ecuación lineal, cuando se conoce  unpunto y la pendiente, utilizando la fórmula  punto - pendiente:
                                                                    y - y1 = m (x -x1)
Ejemplo: Buscar la ecuación de la recta que pasa por el punto  (3,-7) y  tiene pendiente de 8.
m= 8
y - y1 = m (x - x1)
y - (-7) = 8(x -3)  
y + 7 = 8x - 24   
y = 8x - 24 -7  
y = 8x - 31
Fórmula General

Ax+By+C=0

m= - A/BHIPÉRBOLA
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a una constante positiva igual a la distancia entre los vértices.
Ecuaciones en coordenadas cartesianas:
Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas [pic]
[pic]
Ecuación de una hipérbola con centro...