Hetha

Tema 12

Aplicaciones de la integral.
12.1
12.1.1

´ Areas de superficies planas.
Funciones dadas de forma expl´ ıcita.

A la vista del estudio de la integral definida realizado en el Tema 10, parece razonable la siguiente definici´n: o Definici´n 12.1 – Sea f : [a, b] −→ IR una funci´n continua y positiva, y consideremos la regi´n o o o R del plano cuya frontera viene dada por las rectas x= a, x = b, el eje de abcisas y la gr´fica a de f (fig 12.1). Entonces el ´rea de la regi´n R est´ definida por a o a A(R) =
b a

f (x)dx.

En efecto, en su momento hemos comentado como las sumas inferiores y sumas superiores nos ofrecen aproximaciones por “defecto” y por “exceso” del ´rea encerrado por la curva y = f (x). a Si la funci´n es integrable, el inferior de las cotas superiores y elsuperior de las cotas inferiores o coinciden, luego ese valor debe de ser el valor del ´rea. a

y = f (x)

R
a b

Fig. 12.1.

Ejemplo 12.2 – Calcular el ´rea de la regi´n limitada por la curva f (x) = x + 1, los ejes a o 3 coordenados y la recta x = 3. Soluci´n: o La funci´n es positiva en todo IR. En particular, lo es en el dominio de integraci´n y, por o o tanto, el valor del ´rea quebuscamos vendr´ dado por a a A(R) = En nuestro caso, como F (x) = Barrow para obtener que A(R) =
3 0 x3 9 3 0

2

f (x)dx.

+ x es una primitiva de f en [0, 3], basta aplicar la regla de x3 +x 9
3

x2 + 1 dx = 3

= (3 + 3) − (0 + 0) = 6,
0

nos ofrece el ´rea del recinto R de la figura. a
Integral de una variable.

139

´ 12.1 Areas de superficies planas.

f (x) = x +1 3

21

R
x=3

Cuando la funci´n f : [a, b] −→ IR que limita R, es continua y negativa, es decir, f (x) ≤ 0, o para todo x ∈ [a, b], se tiene que
b a

f (x)dx ≤ 0, por lo que este valor no representa el ´rea de a

R como magnitud de medida positiva. Sin embargo, es claro que el ´rea de la regi´n R coincide a o con el ´rea de la regi´n R determinada por la funci´n −f (fig 12.2), por lo que,teniendo en a o o
y = −f (x)

R0
a b

R
y = f (x) Fig. 12.2.

cuenta las propiedades de la integral, puede darse la siguiente definici´n. o Definici´n 12.3 – Sea f : [a, b] −→ IR una funci´n continua y negativa. Consideremos la regi´n o o o R del plano cuya frontera viene dada por las rectas x = a, x = b, el eje de abcisas y la gr´fica a de f . Entonces el ´rea de la regi´n R est´ definida pora o a A(R) =
b a

−f (x)dx = −

b a

f (x)dx.

Observaci´n 12.4 – Es claro entonces que para calcular el ´rea de regiones planas debe analizarse o a el signo de la funci´n en el intervalo de integraci´n. De no hacerlo as´ la parte negativa de la o o ı, funci´n “restar´” el ´rea que encierra del ´rea encerrado por la parte positiva. o a a a Contraejemplo.- Hallar el ´rea encerrado por lafunci´n f (x) = sen x, en el intervalo [0, 2π]. a o El valor
2π

el ´rea encerrada por la curva. a

0

sen xdx = − cos x

2π 0

= (− cos(2π)) − (− cos 0) = 0, es claro que no representa

R1
π

R2

2π

Ahora bien, teniendo en cuenta que la funci´n sen x es positiva en [0, π] y negativa en [π, 2π], o el valor real del ´rea encerrado ser´ por tanto a a A(R) = A(R1 ) + A(R2 ) =
π 0sen xdx +

2π π

− sen xdx = − cos x

π 0

+ cos x

2π π

= 2 + 2 = 4.

Integral de una variable.

140

´ 12.1 Areas de superficies planas.

Ejemplo 12.5 – Hallar el ´rea determinada por la curva f (x) = (x−1)(x−2), las rectas x = 0, a 5 x = 2 y el eje de abcisas. Soluci´n: o f (x) es menor o igual a cero en [1, 2] y positiva en el resto. Luego
2

f (x) = (x−1)(x−2)R1
1

R2
2

R3
2.5

A(R) = Como F (x) =
x3 3

1 0

f (x)dx +

2 1

−f (x)dx +

5 2

2

f (x)dx.

−

3x2 2

+ 2x es una primitiva de f (x) en [0, 5 ], 2
5−4+5+5−4 6

5 A(R) = (G(1) − G(0)) − (G(2) − G(1)) + (G( 2 ) − G(2)) =

= 7. 6

En las definiciones anteriores puede considerarse, que el ´rea calculado esta encerrado por a la funci´n y = f (x) y la funci´n y...