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TEMAS DE MATEMÁTICAS
(OPOSICIONES DE SECUNDARIA)
TEMA 6
EL NÚMERO REAL. TOPOLOGÍA DE LA RECTA REAL.

1. Introducción.
2. El Cuerpo de los números reales.
2.1. Construcción de R.
2.1.1. Sucesiones fundamentales o de Cauchy en Q.
2.1.2. Relación de equivalencia en Sc.
2.2. El grupo aditivo de números reales.
2.3. El grupo multiplicativo de números reales.
2.4. El Cuerpo de númerosreales.
3. Orden de R.
4. Propiedades de R.
4.1. Q es denso en R.
4.2. ℜ es Arquimediano.
4.3. Valor absoluto en R.
4.4. ℜ es completo.
5. Topología de la recta real.
5.1. Subconjuntos cerrados de R.
5.2. Subconjuntos abiertos de R.
5.3. Entornos.
5.4. Puntos especiales.
5.5. Conjuntos compactos.
Bibliografía Recomendada.

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TEMA 6
EL NÚMERO REAL. TOPOLOGÍA DE LA RECTA REAL.
1.INTRODUCCIÓN.
Dibujemos una recta de puntos. Situemos en algún lugar de ella el número cero
como un punto cualquiera de la recta real. A partir de la longitud del segmento limitado
por los puntos 0 y 1 podemos situar los demás números naturales. El número 2 estará
situado a la derecha del 1 y el segmento limitado por 1 y 2 coincide en longitud con el
segmento limitado por el 0 y 1. Por tanto,el segmento de n σ(n), verificará que está
situado a la derecha de n y el segmento entre n y σ(n) coincide con el que hay entre 0 y
1.
De forma similar, podemos situar los números enteros en la recta. Para identificar
puntos de la recta con números racionales podemos utilizar el teorema de Thales, que se
basa en el uso de rectas paralelas. Como entre cada dos números racionales, al menoshay otro (Q es denso) se pensó que todos los puntos de la recta se podían identificar
con números racionales. Hasta que llegó Pitágoras.
Pitágoras indicó que en la recta debía haber un punto que se identificase con un
número, tal que el cuadrado de dicho número fuese 2. Al comprobar que ese número
(que representaremos como 2 ) no era racional, demostró que en la recta había más
puntos quenúmeros racionales (no existía por tanto una biyección).
La necesidad de construir un conjunto más grande que Q también se puede motivar
planteando el siguiente problema.
Dada la ecuación x2 =2, el número x no es racional.
Sea A⊂Q tal que A={p∈Q / p2 2}
El conjunto A está acotado superiormente, por ejemplo 2∈B, 2>p ∀p∈A, y
análogamente B está acotado inferiormente ya que 1∈A y 1n0 ⇒|an -L|0 (ε´∈Q)∃n0 ´∈N / ∀n>n0 ´⇒|an -L´|n0 an ∈(L-d/2, L+d/2)

y según (2) ∀n>n0 ´ an ∈(L´-d/2, L´+d/2)

Sea N=max{n0 , n0 ´}⇒si n≥N
⇒an ∈(L-d/2, L+d/2)∩
∩(L´-d/2, L´+d/2)=∅,
lo cual es imposible.

Al llegar a una contradicción, la suposición es falsa y L=L´.
PROP Toda sucesión convergente es acotada.
Dem
Sea (an ) convergente. Entonces Lim an =L.
Lim an =L⇔∀ε>0 (ε∈Q) ∃n0 ∈N / ∀n>n0 ⇒ |an -L|n0 an∈(L-ε, Lε).
Sea m=min{a 1 ,..,ano,L-ε}y n=max{a 1 ,..,ano,L+ε}, entonces ∀n∈N m≤an ≤n
PROP El conjunto C de sucesiones convergentes es subanillo de S.
Dem
i) Sea an ∈C una sucesión convergente ⇒ an es una sucesión de números
racionales ⇒ an ∈S.
ii) Sean an ∈C y bn ∈C dos sucesiones de números racionales convergentes, es
decir:
∀ε>0 ∃n0 ´∈N / si n≥n0 ´ ⇒|an -L|0 ∃n0 ´´∈N / si n≥n0 ´´ ⇒|bn-L´|0 ∃n0 ∈N / si n≥n0
|an +bn-(L+L´)| = |(an -L)+(bn -L´)|≤|an -L|+|bn -L´|0 ∃n0 ∈N / si n≥n0 ⇒|(an +bn )-(L+L´)|0 ∃n0 ´∈N / si n≥n0 ´ ⇒|an -L|0 ∃n0 ´´∈N / si n≥n0 ´´ ⇒|bn -L´|k´

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Supongamos que (an ) es positiva y (bn ) es negativa.
Entonces ∀n≥max{n0 , n0 ´}⇒|an -bn | = |an | + |bn | >k+k´
Lo cual no puede ser ya que (an ) y (bn ) son equivalentes (⇔(an -bn )∈S0 ).
Lasuposición es falsa y por tanto (an ) y (bn ) son del mismo signo.
DEF Definimos el conjunto de los números reales positivos y lo denotamos por R+, a
R+={x∈R / x=[an ] y (an ) es positiva}.
Análogamente
DEF Definimos el conjunto de los números reales negativos y lo denotamos por R-, a
R-={y∈R / y=[bn ] y (bn ) es negativa}. También como R-={y∈R / -y∈R+}.
Con estas definiciones tenemos que R =...