Hisotiras De Mi Abuelo

Desigualdades


(5 − x )


2

+ 3  > (5 − x )0
5− x

Si 5 − x > 0 , que implica x < 5 se tiene:
2 + (5 − x )3 > 0
se efectúan las operaciones para cada término:

2 + 15 − 3 x > 0

se transponen términos:

− 3 x > −2 − 15

Se reducen los términos semejantes:

− 3 x > −17

dividiendo por − 3 y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:

x<− 17
−3

⇒

x<

17
3

dadas las restricciones x < 5 y x <

17
, su intersección es x < 5
3

Si 5 − x < 0 , que implica x > 5 entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido x >

17
3

17
17
, su intersección es x >
3
3
 17 
Por lo tanto, la solución está dada por: (− ∞ ,5) ∪ 
,∞ 
3 
dadas las restricciones x > 5 y x >

7)

5
+ 18 < −12
2x − 6

Semultiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 2 x − 6 :

(2 x − 6)


5

+ 18  < (2 x − 6 )(− 12)
 2x − 6

Si 2 x − 6 > 0 , que implica x > 3 se tiene:
5 + (2 x − 6 )18 < (2 x − 6 )(− 12 )
7

Desigualdades

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

se efectúan las operaciones para cadatérmino:

5 + 36 x − 108 < −24 x + 72

se transponen términos:

36 x + 24 x < 72 − 5 + 108

Se reducen los términos semejantes:

60 x < 175

dividiendo por 60 :

x<

175
60

⇒

x<

35
12

dadas las restricciones x > 3 y x <

35
35
, su intersección es
< x

35
12

35
, no existe intersección
12
35
Por lo tanto, la solución está dada por:
< x < 3.
12

dadaslas restricciones x < 3 y x >

GRÁFICA DE UNA INECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Resolver una inecuación es encontrar el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad. Gráficamente, la
solución de una inecuación de primer grado está representada por un intervalo del eje de las abscisas a partir de
un valor límite a . Si la solución es de la forma x > a , entonces la región será todos losnúmeros que estén a la
derecha de a sin incluirlo. Si la solución es de la forma x ≥ a , la región incluye al valor a . De la misma forma,
si la solución es de la forma x < a , entonces la región será todos los números que estén a la izquierda de a sin
incluirlo. Si la solución es de la forma x ≤ a , la región incluye al valor a . Dependiendo del tipo de desigualdad
el conjunto solución puede ser unoo dos intervalos, la totalidad de los números reales o el conjunto vacío.
Ejemplos.
Representar gráficamente la solución de las siguientes inecuaciones de primer grado:
1) 4( x + 1) > 2 − 3(2 x + 6 )
Solución.

4 x + 4 > 2 − 6 x − 18
4 x + 6 x > 2 − 18 − 4
10 x > −20
− 20
x>
10
x > −2

x > −2
-2

3
95
11
− 7 x − ≥ − 8x + x + 5
4
23
4
3
9
5
11



12 − 7 x −  ≥12 − 8 x + x + 5 
2
4
4
3

9 − 84 x − 54 ≥ 20 − 96 x + 33 x + 60
− 84 x + 96 x − 33 x ≥ 20 + 60 − 9 + 54
− 21x ≥ 125

-1

1

2

x

2)

x≤−

-10
8

-8

125
21
-6

-4

-2

0

x

Desigualdades

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

x≤−

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

125
21

3 7 13 5
+< −
x 2 4 8x
si x > 0
 3 7
 13 5
8 x − +  < 8 x − 
 x 2
 4 8x 
− 24 + 28 x < 26 x − 5
28 x − 26 x < −5 + 24
2 x < 19
19
x<
2
3) −

dadas las restricciones x > 0 y x <

19
19
, su intersección es 0 < x <
2
2

Si x < 0 entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido x >

19
2

19
, no hay intersección.
2
19
Por lo tanto, la solución está dada por: 0 < x <
2
dadas las restricciones x< 0 y x >

0< x<

-1

1

3

5

19
2
7

9

11

x

DESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
Una desigualdad de segundo grado o desigualdad cuadrática, tiene la forma:

ax 2 + bx + c > 0 o ax 2 + bx + c ≥ 0 o ax 2 + bx + c < 0 o ax 2 + bx + c ≤ 0
donde a , b y c son números reales y a ≠ 0 . Su solución generalmente representa un intervalo o la
unión de dos...