Historia De La Matematica

Álgebra
Uno de los campos más desarrollados en el siglo XIX también fue el álgebra, y una de las grandes creaciones del álgebra fue la Teoría de Grupos, donde la figura ciñera es la del francés Evariste Galois (1811-1832).

Evariste Galois

Un conjunto de elementos forma un grupo con una operación si: el conjunto es cerrado bajo esa operación (operar dos elementos da otro del mismoconjunto), contiene un elemento neutro (, para cada elemento existe un elemento inverso (), y la operación es asociativa El conjunto puede estar formado de números, puntos, rectas y otras figuras, transformaciones (algebraicas o geométricas) y otros objetos. Las operaciones pueden ser aritméticas, algebraicas o geométricas. La fuerza de generalización que estos instrumentos matemáticos poseen esextraordinaria.
Galois, usando ideas que había mencionado el matemático también francés Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y el italiano Paolo Ruffini (1765-1822), expresó las propiedades fundamentales de lo que se suele llamar el Grupo de Transformaciones de las raíces de una ecuación algebraica.
A partir de un trabajo sobre estos grupos, muchos de los problemas clásicos podían ser resueltos como, porejemplo, la trisección del ángulo, la duplicación del ángulo, la solución de las ecuaciones cúbica y bicuadrática, así como la solución de ecuaciones algebraicas de diferentes grados.
Aunque la obra de Galois fue anterior a la de los británicos, sus ideas no tuvieron impacto hasta 1846 cuando se publicaron. Su influencia condujo también a la elaboración del concepto de cuerpo a través deresultados de los alemanes Richard Dedekind, Leopold Kronecker (1823-1891) y Ernst Eduard Kummer (1810-1893).
En el mundo británico, ya mencionamos los trabajos algebraicos de Hamilton y Clifford, también debemos mencionar que muchos de los resultados de los ingleses en el siglo XIX fueron en el álgebra y sus aplicaciones a la geometría; entre los nombres más relevantes que podemos citar están: Cayley,Sylvester y Salmon. Por ejemplo Cayley trató de dar una sistemática teoría de los invariantes de formas algebraicas, con simbolismo propio y sus leyes (algo así como una contraparte algebraica de la geometría proyectiva de Poncelet); sus trabajos le permitieron integrar la geometría métrica dentro de la proyectiva. James Joseph Sylvester (1814-1897) obtuvo una teoría de los divisores elementales(1851) y una ley de la inercia de formas cuadráticas (1852). George Salmon (1819-1914) contribuyó esencialmente en la redacción de textos en geometría analítica y teoría de invariantes que fueron decisivos para muchas generaciones. La influencia anglosajona llegó a los Estados Unidos, lo que se aprecia en la obra de Benjamin Peirce (1809-1880).
No solo en el mundo anglosajón tuvieron impacto losalgebristas británicos. También en Alemania, con matemáticos como Otto Hesse (1811-1874) , Siegfried Heinrich Aronhold 81819-1885), Alfred Clebsch (1833-1872) y Paul Gordan (1837-1912)
Geometría y álgebra
Buena parte de los trabajos en geometrías no euclidianas, geometría proyectiva y en álgebra y teoría de grupos, fue sintetizada de una manera extraordinaria por un gran matemático alemán: FelixKlein (1849-1925).
En 1872, Klein sistematizó la geometría usando la teoría de grupos en algo que se llamó el Programa de Erlangen. Una geometría era el estudio de las propiedades de figuras que se mantienen invariantes cuando se aplica un grupo de transformaciones. El asunto se puede poner así: al ampliar o reducir el grupo se pasa de una goemtría a otra. Se asocia, entonces, grupos detransformaciones y clases de geometrías. Un ejemplo: la geometría euclídea plana se asocia al grupo de transformaciones dado por las traslaciones y rotaciones en el plano (los objetos son las figuras del plano invariantes bajo este grupo de transformaciones); la geometría proyectiva se asocia a un grupo que se denomina precisamente proyectivo.

Felix Klein
Esta aproximación revolucionaria dominó la...