Historia Del Urbanismo

Curvas
M. Eugenia Rosado María Departamento de Matemática Aplicada Escuela Técnica Superior de Arquitectura, UPM Avda. Juan de Herrera 4, 28040-Madrid, Spain E-mail: eugenia.rosado@upm.es

Índice
1 Representación analítica de curvas 1.1 Cambio admisible de parámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Longitud de arco 3 Estudio local de una curva 3.1 Recta tangente y plano normal. . . . . . .. . . . . . . 3.2 Curvatura. Normal principal. Plano osculador. . . . . . 3.3 Recta binormal y plano recti…cante. Torsión. . . . . . . 3.4 Triedro móvil o de Frenet. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Triedro de Frenet para una representación paramétrica traria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Fórmulas de Frenet-Serret. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Hélices . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Teorema de Lancret (1802). . . . . . . . . . . . 3.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Bibliografía . . . . . . . . . . . . arbi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 8 12 13 18 20 22 23 26 33 34 35 39

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Representación analítica de curvas

Podemos pensar en una curva C como la trayectoriaque describe un punto moviéndose en el espacio. Considerando las coordenadas cartesianas (x; y; z) en R3 , las coordenadas del punto P de la curva vendrán expresadas en función de un parámetro que podemos denotar t y que toma valores en cierto intervalo I R: x = x(t); y = y(t); z = z(t); t 2 I.

Esto es, la curva es el conjunto C de puntos de R3 con coordenadas (x(t); y(t); z(t)), con t 2 I. Ala aplicación ~ : I ! R3 , ~(t) = (x(t); y(t); z(t)) r r la llamaremos representación paramétrica de la curva C. También podemos considerar una C como el conjunto de puntos intersección de dos super…cies; esto es, la curva es el conjunto de puntos de R3 con coordenadas (x; y; z) que satisfacen dos ecuaciones: F (x; y; z) = 0 y G(x; y; z) = 0. Las ecuaciones F (x; y; z) = 0, G(x; y; z) = 0 sedenominan ecuaciones implícitas o cartesianas de la curva. Veamos algunos ejemplos sencillos de curvas con distintas representaciones paramétricas e implícitas. Ejemplos 1. Línea recta. Una línea recta en el espacio viene dada por una representación paramétrica de la forma: ~(t) = (a1 + tb1 ; a2 + tb2 ; a3 + tb3 ) , r donde ai , bi son constantes y al menos uno de los bi 6= 0.

También podemosconsiderar la línea recta como intersección de dos planos. Por ejemplo, la recta de ecuaciones paramétricas x(t) = a1 + tb1 ; y(t) = a2 + tb2 ; z(t) = a3 + tb3 , se puede considerar como la intersección de los planos ciones: x a1 = y b2a2 ; 1 b1 x a1 = z b3a3 : 2 b1
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de ecua-

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2. Circunferencia. Descripción geométrica: La circunferencia es el conjunto de puntos de un plano que equidistande un punto dado. La circunferencia es una curva plana pues está contenida en un plano. Una representación paramétrica de la circunferencia de radio a, centro el origen de coordenadas y contenida en el plano z = 0 es: ~(t) = (a cos t; a sin t; 0) , t 2 [0; 2 ), r donde a es el radio de la circunferencia y t es el ángulo formado por el punto P = ~(0), el origen de coordenadas O y el punto genéricor X = ~(t) de la circunferencia. r

Otra posible representacion paramétrica de la circunferencia es: ~(t) = (a cos 2t; a sin 2t; 0) , t 2 [0; ), r en la que estamos recorriendo la circunferencia a doble velocidad. Consideramos el conjunto de puntos con coordenadas (x; y; z) que satisfacen las siguientes ecuaciones: x 2 + y 2 + z 2 = a2 ; z = 0; esto es, estamos considerando la circunferenciacomo la intersección de la esfera de ecuación x2 + y 2 + z 2 = a2 con el plano de ecuación z = 0. 3

La misma circunferencia la podemos considerar como la intersección del paraboloide de ecuación x2 + y 2 z = a2 con el plano de ecuación z = 0: x 2 + y 2 z = a2 ; z = 0: La misma circunferencia la podemos considerar como intersección del cilindro de ecuación x2 + y 2 = a2 con el plano de ecuación...