Historia

Cap´
ıtulo 7
Razones de cambio relacionadas
1

Al definir la derivada de una funci´n y = f (x) en un punto fijo x0, se explicit´ que
o
o
f ( x0 + h) − f ( x0 )
f ( x) − f ( x0 )
∆y
= l´
ım
= l´m
ı
x→x0
h→0
∆x→0 ∆x
h
x − x0

ım
f (x0 ) = l´

donde ∆y = f (x) − f (x0) = f (x0 + h) − f (x0) & ∆x = x − x0 = h son los incrementos de las variables
y & x, respectivamente.Refiri´ndonos a estos incrementos podemos decir que:
e
• El incremento ∆y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + h) − f (x0 ), muestra el cambio que tiene la variable y
• El incremento ∆x = x − x0 = h, muestra el cambio que tiene la variable x.
De esto se desprende que el cociente
f ( x) − f ( x0 )
f ( x0 + h) − f ( x0 )
∆y
=
=
∆x
x − x0
h
es una raz´n de cambio que muestra la raz´n entre el cambio quetiene la variable y & el cambio
o
o
que tiene la variable x.
Es decir es una raz´n que compara el cambio de la variable y , con respecto al cambio de la variable
o
x.
O sea que, es una raz´n que mide el cambio promedio de la variable y , a lo largo del intervalo limitado
o
por x0 & x0 + ∆x.
• Esto es, es la raz´n de cambio promedio de la funci´n y = f (x) con respecto a x, a lo largo del
oo
intervalo con extremos x0 & x0 + ∆x.
∆y
nos estamos refiriendo a la raz´n de cambio promedio de la variable y
o
∆x→0 ∆x
cuando se consideran cambios cada vez m´s peque˜os en la variable x. Podemos decir que con este l´mite
a
n
ı
se busca una raz´n de cambio instant´nea de la variable y con respecto a la variable x.
o
a
Ahora bien, al escribir l´
ım

1

canek.azc.uam.mx: 24/ 7/2007

1

CAP´
ITULO 7.
Es decir, cuando hacemos que la longitud (| ∆x |) del intervalo limitado por x0 & x0 + ∆x tienda a cero,
“la raz´n de cambio promedio de y ” se convierte en “la raz´n de cambio instant´nea de y ”, por supuesto,
o
o
a
con respecto a x.
Comentario adicional.
En el caso particular en que la variable independiente es el tiempo t, es usual referirse a la derivadacomo
una velocidad de cambio, en lugar de decir raz´n de cambio instant´nea con respecto a t. Por ejemplo:
o
a
dx
= φ (t) es la velocidad
dt
de cambio de la posici´n x = φ(t) en el instante de tiempo t, que es la velocidad instant´nea del
o
a
m´vil.
o

• si x = φ(t) es la posici´n de un m´vil en el instante de tiempo t, entonces
o
o

dv
= g (t) es la velocidad
dt
de cambio de lavelocidad v = g (t) en el instante de tiempo t, que es la aceleraci´n instant´nea del
o
a
m´vil.
o

• si v = g (t) es la velocidad de un m´vil en el instante de tiempo t, entonces
o

Supongamos ahora que, en el contexto de un problema, se tiene una funci´n de la que queremos medir y
o
obtener su raz´n de cambio (su derivada). Es muy problable que dicha funci´n se encuentre relacionadao
o
con otras funciones cuyas derivadas (razones de cambio) se conozcan. La estrategia en este caso consiste
en encontrar una relaci´n matem´tica en donde se relacionen las funciones que aparezcan en el contexto
o
a
del problema.
Posteriormente se deriva la expresi´n matem´tica mencionada y se obtiene una relaci´n de funciones y
o
a
o
razones de cambio (las que se conocen con las queno se conocen).
Por ultimo se despeja la raz´n de cambio deseada que estar´ en t´rminos de las otras razones de cambio.
´
o
a
e
Se dice entonces que se tiene un problema de razones de cambio relacionadas.
En este tipo de problemas es de vital importancia tener muy claro ¿qu´ es lo que se pide en el problema?
e
as´ como, ¿qu´ es lo que se sabe en el problema? Teniendo claro lo que se pide ylo que se sabe, procedemos
ı
e
a matematizar el problema.
Ejemplo 7.1.1 Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circulares conc´ntricas
e
cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3 metros,
´ste aumenta a una rapidez (velocidad) de 50 cm/s. ¿A qu´ rapidez (velocidad) aumenta el ´rea del c´
e
e
a...