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TRABAJO PRÁCTICO N°2
PARTE B
Tanques interconectados
3- Sistema MIMO
Q1 +q i1

Q2 +q i2

H1 + h1

H2 + h2
Q1+ Q 2+ q0
R1

R2

Q1 + q1

Para plantear las ecuaciones de equilibrio, consideramos que en estado estable las velocidades de flujos
3

3

de entrada de los tanques son Q1 (m /seg) y Q2 (m /seg), y la velocidad del flujo entre los tanques es
cero, las alturas son H1 yH2.
En t = 0 las velocidades de los flujos de entrada cambian de Q1 a Q1 + qi1 en el tanque 1, y Q2 a Q2 + qi2 en
el tanque 2; este cambio produce variaciones en el nivel de líquido de ambos tanques que las llamamos h 1 y
h2 respectivamente. Se supone que estas variaciones son pequeñas con respecto a los valores en estado
2

2

estacionario. La capacitancia del tanque 1 es C1 (m ) y ladel tanque 2 es C2 (m ) .La resistencia de la
2

2

válvula que está entre los tanque es R1 (seg/m ) y la de la válvula de salida es R 2 (seg/m ). Se considera
que la velocidad del flujo entre ambos tanques es proporcional a la diferencia de altura entre ellos (relación
lineal)
Ecuaciones de equilibrio:
Las variables de estado del sistema son las variaciones de altura de ambos tanques conrespecto al estado
estacionario h1 y h2. Las entradas son qi1 y q12
Teniendo en cuenta que

dh1 qi1  q1

dt
C1
dh2 q1  q12  q0

dt
C2

d ( H 1  h1 ) dh1

dt
dt

y

d ( H 2  h2 ) dh2

dt
dt

1

2

Debemos expresar 1 y 2 en función de las variables de estado:

q1 

h1  h2
R1

q0 

h2
R2

Reemplazamos en 1 y 2

dh1 qi1
h
h

 1  2
dt C1R1C1 R1C1

3

dh2 q12
h
h
h

 1  2  2
dt
C2
R1C 2 R1C 2 R2 C 2

4

De 3 y 4 planteamos las ecuaciones de estado:

1

 R C
 h (t ) 
 1    1 1
h2 (t )  1

 
 R1C 2



1
  h (t )  
C
 1
 1
 1
 h2 (t ) 
1


0

 R C  R C 



2
2 
 1 2


0
q 
  i1 
1  qi 2 
C2 


1
R1C1

La salidadel sistema está dada por las ecuaciones matriciales:

 y1 (t )  1 0  h1 (t ) 
 y (t )  0 1 h (t )
 2 
 2  

Sistema SISO

q

h1

h2

q0

q1
h2
El siguiente sistema, a diferencia del ejercicio anterior tiene una única entrada q y se considera
nuevamente que la velocidad del flujo entre ambos tanques es proporcional a la diferencia de altura entre
ellos(relación lineal). En este ejemplo se obtendrá el diagrama de bloques del sistema a partir de las
ecuaciones de equilibrio

Ecuaciones de equilibrio:
Las variables de estado del sistema son las variaciones de altura de ambos tanques con respecto al estado
estacionario h1 y h2. Ahora no consideramos las condiciones de estado estacionario, dado que el sistema
es lineal y vimos en el punto anteriorque la solución del sistema es independiente de estos valores.

dh 1 q  q 1

dt
C1

1

dh 2 q1  q 0

dt
C2

2

q1 

siendo:

q0 

donde:

h1  h 2
R1

h2
R2

3

4

Transformamos miembro a miembro las cuatro ecuaciones y hacemos los respectivos diagramas de
bloques:

S H1 (s) 

Q(s)  Q1 (s)
Q(s)  Q1 (s)
 H1 (s) 
C1
SC 1

1
S C1

+

Q(s)-

Q1 (s) 

1

H 1 (s)  H 2 (s)
3
R1

1
R1

+
H1(s)

-

H1(s)

Q1(s)

H2(s)

Q1(s)

SH 2 (s) 

Q1(s)

Q1 (s)  Q0 (s)
Q (s)  Q0 (s)
 H 2 (s)  1
C2
SC 2

+
-

Q0(s)

1
S C2

H2(s)

2

Q0 (s) 

H2(s)

H 2 (s)
R2

4

1
R2

Q2(s)

El diagrama de bloques del sistema queda:

H2(s
- )

X1(s)= H1(s)
Q(s)

1
S C1

+
-

+1
R1

Q2(s)

Q1(s)

1
S C2

+

X2(s)= H2(s)

-

Q1(s)

1
R2

Q(s)

Podemos simplificar el diagrama :

H2(s)
R2 C 1 S

-

Q(s)

+

1
S C1

+
-

+

1
R1

Q2(s)

Q1(s)

1
S C2

+
-

Q1(s)

1
R2

Q2(s)

Sistema 1

Sistema 2

Si queremos obtener la función de transferencia a partir del diagrama, debemos resolver cada sistema...