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Capítulo 2

CAPÍTULO 2 -DECIMACIÓN-

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Capítulo 2

2.1 INTRODUCCIÓN

A

l proceso de convertir la frecuencia de una señal dada, a una frecuencia
diferente, se le llama conversión de la frecuencia de muestreo. Los sistemas
que emplean múltiples frecuencias de muestreo en el procesamiento de

señales digitales son llamados Sistemas de Procesamiento Digital de SeñalesMultifrecuencia.
Este capítulo trata una de las operaciones básicas en el estudio de los Sistemas
Multifrecuencia, la decimación. Se analizará en el dominio del tiempo y la frecuencia y
se obtendrán relaciones de entrada y salida en el sistema, y finalmente se mostrarán dos
simulaciones en Simulink.

2.2 DECIMACIÓN
A la reducción de la frecuencia de muestreo se le llama decimación. La
decimaciónconsiste en dos etapas: filtrado y downsampling (muestreo hacia abajo)
como se muestra en la Figura 2.1.

Figura 2.1: Decimación por un factor D
Gráficamente lo que hace la decimación es tomar cada D muestras equidistantes
de la señal original, y descarta las demás; dejando así una señal equivalente pero con
diferente tasa de muestreo, como se puede ver en la Figura 2.2.

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Elproceso de downsampling se representa por lo general mediante una caja con
una flecha apuntando hacia abajo, seguida del factor de downsampling como se puede
observar en la Figura 2.3.

(a) Señal original

(b) Señal decimada por un factor D=4

Figura 2.2: Decimación en tiempo

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Figura 2.3: Downsampling
Primero consideraremos el proceso de downsampling y después desu
descripción se explicará el porqué es necesario aplicar una etapa de filtrado antes de la
de Downsampling.

2.3 DOWNSAMPLING
El proceso de downsampling reduce la frecuencia de muestreo de la entrada Fx
por un factor entero D, el cual es conocido como factor de downsampling, como se
puede observar en la Figura 2.1, este proceso se realiza después de la etapa de filtrado.

2.3.1 Análisisen el dominio del tiempo
Si denotamos a h(n) como la respuesta al impulso del filtro, entonces tenemos
que la salida v(n) del filtro se puede obtener mediante la convolución de x(n) y h(n), y
está dada por [5]:
∞

v ( n) = ∑ h(k ) x ( n − k )

(1)

k =0

La señal de salida del filtro entra al down-sampler y la frecuencia de muestreo
será reducida por un factor D; dando como resultadoy(m), con y(m) se puede observar
que sucede un escalamiento en tiempo, entonces:

y (m) = v(mD)

Usando (1) y (2) podemos llegar a la conclusión de que [5]:

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(2)

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∞

∞

k =0

k =0

y (m) = ∑ h(k ) x(mD − k ) = ∑ x(k ) h( mD − k )

(3)

2.3.2 Análisis en el dominio de la frecuencia

Las características en el dominio de la frecuencia de la señal de saliday(m)
pueden ser obtenidas relacionando el espectro de y(m) con el espectro de la señal de
entrada x(n). Para empezar definamos una secuencia v′(n) como [4]:

n = 0, ± D, ±2 D...
cualquier otro valor

⎧v(n)
v′(n) = ⎨
⎩0

(4)

Se puede observar que v′(n) puede ser vista como una secuencia obtenida de la
multiplicación de v(n) con un tren de impulsos periódicos de periodo D y deamplitud
unitaria, como se muestra en la Figura 2.4, quedando así [4]:
v′(n) = v(n) p(n)

(5)

La representación de la serie de Fourier discreta para un tren de impulsos p(n),
con periodo “D” está dada por [4]:

1 D −1
p ( n) = ∑ e
D k =0

j 2πkn
D

(6)

Obtenemos la Transformada de Fourier (FT) de la secuencia v´(n) usando (5):

V ´(e ) =
jw

∞

∑ v´(n)e

n = −∞

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− jwn=

∞

∑ v ( n) p ( n) e

n = −∞

− jwn

(7)

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Figura 2.4: Multiplicación de v(n) con un tren de impulsos periódicos p(n) con
periodo D=3
Sustituyendo la ecuación (6) en (7) se obtiene que:
π
⎡ 1 D −1 j 2Dkn ⎤ − jwn
V ´(e ) = ∑ v (n) ⎢ ∑ e
⎥e
n = −∞
⎣ D k =0
⎦
∞

jw

(8)

Al intercambiar las sumatorias en (8), se obtiene la siguiente expresión para
V...