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LISTA DE PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Prof. Ram´n Herrera Avila o SEPTIEMBRE DEL 2012
´ UNIDAD 1.-INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y A LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN 1. Paracada una de la ecuaciones diferenciales siguientes, determinar su orden y si la ecuaci´n es o no o lineal. dy d2 y + 2y = sin(x) a) x2 2 + x dx dx 2 d y dy b) (1 + y 2 ) 2 + x + y = ex dx dx d3 y d2 y dyd4 y +y =1 + 3+ 2+ c) 4 dx dx dx dx dy d) + xy 2 = 0 dx 2. De las siguientes ecuaciones diferenciales, verificar que las funciones dadas son soluciones. a) y ” − y = 0; y1 = ex , y2 = coshx b) y ” +2y − 3y = 0; y1 = e−3x , y2 = ex c) y ”” + 4y ” + 3y = x; y1 = x , y2 = e−x + 3
1 j) y = x k ) 3ex tg(y)dx + (2 − ex )sec2 (y)dy = 0 l ) y sen(x) = yln(y) con y( π ) = e 2

6. Utilizando el m´todode Ecuaciones Exactas, detere mina si es exacta o no las siguientes ecuaciones y determina su soluci´n. o a) b) c) d) e) (2x + 3) + (2y − 2)y = 0 (2x + 4y) + (2x − 2y)y = 0 (9x2 + y − 1) − (4y − x)y =0 (2xy 2 + 2y) + (2x2 y + 2x)y = 0 (ex sin(y) − 2ysin(x))dx + (ex cos(y) + 2cos(x))dy = 0 f ) (ex sin(y) + 3y)dx − (3x − ex sin(y))dy = 0 g) Determina el valor de b para el cu´l las ecuaciones asiguientes son exactas y, con este valor resolverlas. 1) (xy 2 + bx2 y)dx + (x + y)x2 dy = 0 2) (ye2xy + x)dx + bxe2xy dy = 0

x 3

3. Determinar para que valores de r, cada una de las siguientesecuaciones diferenciales lineales tienen soluciones de la forma erx . a) y + 2y = 0 b) y ” − y = 0 c) y ” + y − 6y = 0 4. Verificar, en los siguientes problemas que las funciones dadas son soluciones de lasecuaciones diferenciales indicadas. a) y = b) y = c) y = Ce + 1 ex , y + 2y + ex = 2ex √ 3 C 2+C 1 + x2 , (1−x2 )y +xy = 2x(1+ √1+x2 ) √ 3 2
sin(x) x , −2x

7. Demostrar que las ecuaciones de lossiguientes incisos no son exactas, pero que se hacen exactas multiplic´ndolas por el factor integrante indicando en cada a caso. Despu´s hay que resolverlas. e a) x2 y 3 + x(1 + y 2 )y = 0, µ =
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