Hola

Ésta es la guía que tenían que comprar en la fotocopiadora, se las mando por las dudas que no la hayan comprado. También les adjunto lo de fractales.
Por favor, hagan todos los ejercicios. Cuando nos volvamos a ver, tendrán UNA clase de consulta y la clase siguiente evaluación. Cualquier duda, me mandan un mail.
También traigan leído el trabajo de fractales.
Por favor, por las dudas, subanesto al grupo de ustedes.
Cariños
Marina
NÚMEROS COMPLEJOS

La ecuación x2 + 4 = 0 no tiene solución en el conjunto de los números reales al igual que muchas otras porque todo número real, elevado al cuadrado, es positivo. Para solucionar esto, los matemáticos inventaron un número cuyo cuadrado es –1, al que, recién después del año 1777, Euler lo denominó con la letra i.

Llamamos i al númeroque elevado al cuadrado da por resultado -1, es decir i2 = –1.


Números complejos: llamamos número complejo a un número z que puede escribirse de la forma
z = a + bi, donde a y b son números reales

Por ejemplo, z1 = 3 – 5i ; z2 = 0,5 + 9i ; z3 = 5i ; z4 = 8 son números complejos.

Al número a lo llamamos parte real del número complejo y lo simbolizamos a = Re(z) y alnúmero b lo llamamos parte imaginaria del número complejo y lo simbolizamos b = Im(z).

Así Re(z1)= 3 Re(z2)= 0,5 Re(z3)= 0 Re(z4)= 8
Im(z1) = – 5 Im(z2) = 9 Im(z3) = 5 Im(z4) = 0
Designamos con C al conjunto de los números complejos.

En z4 podemos observar que los números reales están incluidos en este conjunto, ya que pueden escribirsede la forma a + 0 i.

Los números complejos cuya parte real es 0 se llaman imaginarios puros (por ej. 4i; -7i; etc)
Los números complejos cuya parte imaginaria es 0 se llaman reales.

Para que el conjunto de los números complejos incluya a los números reales, debemos definir las operaciones de modo tal que si sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos números reales, siga manteniéndose elresultado.

Operaciones con números complejos

Suma y resta

Simplemente, se suman o restan por un lado las partes reales y por otro lado las partes imaginarias.
Por ejemplo z1 + z2 = 3 – 5i + 0,5 + 9i = (3 + 0,5) + (–5 + 9) i = 4,5 + 4i

z1 – z2 = 3 – 5i – (0,5 + 9i) = (3 – 0,5) + (–5 – 9) i = 2,5 – 14i

Multiplicación

Para definir la multiplicación tenemos en cuenta que queremosmantener la validez de la propiedad distributiva. Entonces:

z1 . z2 = (3 – 5i) . (0,5 + 9i) = 3 . 0,5 + 3 . 9 i – 5i . 0,5 – 5 i . 9 i = 1,5 + 27 i – 2,5 i – 45 i2 =

Teniendo en cuenta que i2 = -1: 1,5 + 27i – 2,5 i + 45 = 46,5 + 24,5i

Conjugado de un número complejo:

Dos números complejos se llaman conjugados si tienen igual parte real y parte imaginaria opuesta.
Si z =a + bi es un número complejo, [pic]= a – bi se llama conjugado de z.
Por ejemplo, si z = –4 – 6 i ---------- [pic]= –4 + 6i

Demostrar que siempre que multiplicamos un complejo por su conjugado se obtiene un número real.

División
Si el divisor es un número real, simplemente aplicamos propiedad distributiva: [pic]
Si el divisor es un complejo con parte imaginaria no nula, por ej. [pic]Para obtener un número real como divisor, y teniendo en cuenta que siempre que multiplicamos un complejo por su conjugado obtenemos un número real, vamos a multiplicar y dividir por el conjugado del divisor:

[pic]= [pic]

Potencias de i

Queremos calcular cuánto es i45 o i510.

Veamos las primeras potencias de i: i0 = 1
i1 = i
i2 = –1i3 = i2 . i = –1 . i = –i
i4 = i2 . i2 = –1 . (–1) = 1
i5 = i4 . i = i
i6 = i4 . i2 = –1

Cada vez que la potencia permita agrupar cuatro veces i, como i4 = 1, este factor se puede suprimir ya que no modifica el resultado.
Por ejemplo, i11 = i8 . i3 = (i4)2 . i3 = 12 . (–i) = –i
Entonces para calcular por ejemplo la potencia 45, analicemos cuántos 4 entran en 45:...