holas

Capítulo 25
Ecuación de Laplace:
coordenadas cartesianas

En el capítulo 22 discutimos la técnica de separación de variables para las EDP más importantes
encontradas en cursos de introducción a la física y la ingeniería. Una de estas EDP que merece
especial atención es la ecuación de Laplace

Que se muestra ampliamente en los problemas de la electrostática y conducción del calor enestado estacionario. Este último surge en situaciones en las que la temperatura no cambia con el
tiempo, de modo que el LHS de la ecuación ( 22.3 ) se desvanece.
Aparte de su importancia en las aplicaciones, la ecuación de Laplace es importante debido a que
su solución conduce naturalmente a algunas de las funciones más famosas de la física matemática.
De hecho, cuando se separa esta ecuación endiversos sistemas de coordenadas, se obtiene no
sólo las funciones elementales como senos y cosenos, sino también las más avanzadas "funciones
especiales", tales como polinomios de Legendre y las funciones de Bessel. El corazón de tales
funciones es la linealidad de la ecuación de Laplace que permite sumar un número ( infinito ) de
soluciones para obtener una nueva solución . Esto conducenaturalmente a las soluciones de la
ecuación de Laplace en términos de series infinitas.
En una situación típica, se da en algunas superficies que delimitan un volumen en el espacio y su
valor para todos los puntos del volumen. Cuando la delimitación es una superficie arbitraria, la
solución se puede encontrar sólo por métodos numéricos, pero cuando son superficies principales
de un sistema decoordenadas, podemos, generalizar la solución del problema mediante la
separación de la ecuación de Laplace en el sistema de coordenadas apropiado.
25.1 unicidad de las soluciones
Veremos muchos ejemplos de soluciones a la ecuación de Laplace en varios sistemas de
coordenadas en este y en los siguientes capítulos. Todas estas soluciones se obtuvieron en forma
de series infinitas. Por lo tanto,sabemos que las soluciones a La ecuación de Laplace de hecho
existen. Lo que queremos hacer en esta sección es mostrar que la solución que satisface todas las
condiciones de contorno es única.
En otras palabras, no importa cómo nos encontramos la solución, siempre y cuando se satisface la
condición de frontera, es la solución de la ecuación de Laplace. De hecho, podemos ser más
generales ydemostrar la singularidad de la ecuación de Poisson ∇ 2Φ = ρ .
Considere el volumen V con algunas superficies que la limitan. La figura 25.1 muestra dos de tales
volúmenes. Supongamos que dos funciones Φ1 y Φ2 satisfacen la ecuación de Poisson en cada

punto del volumen, y que ambas satisfacen algunas otras condiciones relacionadas con las
superficies que vamos a mirar en poco tiempo. Vemos queΦ = Φ1 - Φ2 y observe que Φ satisface
la ecuación de Laplace, porque

Para cualquier función f, tenemos [véase la ecuación ( 14.11 ) ]

Para Φ (ya que satisface la ecuación de Laplace) obtenemos

Integrando ambos lados de la última ecuación sobre el volumen V y usando el teorema de la
divergencia en los LHS obtenemos

Figura 25.1 : Un volumen ( región sombreada ) con su superficie dedelimitación. ( a) El volumen esta
"Dentro" de la superficie de delimitación. ( b ) El volumen está " fuera" de la superficie(s) límite.

Supongamos ahora que:



Condición de contorno Dirichlet : Φ1 y Φ2 toman en el mismo valor en todos los puntos de
la superficie de delimitación ( s ), es decir , Φ1 - Φ2 = 0 en S , o
Neumann condición de frontera: las llamadas derivadas normales
toman unvalor igual en cada punto de la superficie(s) de contorno, es decir,
en S.

Entonces, en cualquier caso, la primera línea de la ecuación ( 25.2 ) resulta cero . Puesto que el
integrando de la RHS nunca es negativo, el integrando debe desvanecerse. De esto Sigue que

Para todos los puntos en el volumen V. Desde Φ = 0 en la superficie de delimitación, la constante
debe ser cero, es...