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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es de la forma

 

x1 (t)
a11 (t)x1 (t) + a12 (t)x2 (t) + . . . + a1n (t)xn (t) + b1 (t)

 

 x (t)   a21 (t)x1 (t) + a22 (t)x2 (t) + . . . + a2n (t)xn (t) + b2 (t) 
 2
 

x (t) =  .  = 
=
..
 ..  

.

 

xn (t)
an1 (t)x1 (t) + an2 (t)x2 (t) + . . . + ann (t)xn (t) +bn (t)


 

b1 (t)
a11 (t) a12 (t) · · · a1n (t)
x1 (t)


 

 a21 (t) a22 (t) · · · a2n (t)   x2 (t)   b2 (t) 


 

=
  .  +  .  = A(t)x(t) + b(t)
..
..
..
..
.
.






.
.
.
.

 .   . 
bn (t)
an1 (t) an2 (t) · · · ann (t)
xn (t)
donde x : IR −→ IRn es nuestra función incógnita, A : IR −→ Mn (IR) es una funciónmatricial y
b : IR −→ IRn .

Llamaremos sistema homogéneo asociado al sistema lineal al que resulta de tomar b(t) = 0,
es decir x (t) = A(t)x(t)

Existencia y Unicidad
Consideremos un Problema de Cauchy definido para un sistema lineal:

x (t) = A(t)x(t) + b(t)
x(t0 ) = x0

Si las funciones A y b son continuas en [a, b] el problema de
Cauchy tiene solución única ∀x0 ∈ IRn , ∀t0 ∈ [a, b]definida
∀t ∈ [a, b] (Aplicación del Teorema de Picard-Lindelöf).

• NOTA: Una función matricial como A y una función vectorial como b son continuas en un
intervalo [a, b] si lo son cada una de sus funciones componentes aij : IR −→ IR, bi : IR −→ IR
Demostración: La función F : IR × IRn −→ IRn definida por la expresión F(t, x) = A(t)x + b(t)
∂F
es continua ∀t ∈ [a, b] ∀x ∈ IRn . Su parcialrespesto a xi es
(t, x) = A(t)ei , siendo ei el
∂xi
vector i-ésimo de la base canónica de IRn , es decir, la columna i-ésima de la matriz A(t)


a1i (t)


 a2i (t) 
∂F


(t, x) = 

.
..


∂xi


ani (t)
que, al ser las funciones aij continuas ∀t ∈ [a, b], está acotada ∀(t, x) ∈ [a, b] × IRn , q.e.d.
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Sistema Homogéneo
Nos vamos a concentrar en esta secciónen las propiedades de las soluciones de un sistema lineal
homogéneo, x (t) = A(t)x(t)

Las soluciones de un sistema homogéneo constituyen un espacio vectorial de dimensión n.
Demostración. Demostremos primero que forman un espacio vetorial. Sean x1 y x2 dos soluciones del sistema homogéneo y α y β dos números reales. Es inmediato comprobar que
z = αx1 + βx2 es solución:
d
[αx1 (t) + βx2(t)] = αx1 (t) + βx2 (t) = αA(t)x1 (t) + βA(t)x2 (t) =
dt
= A(t)[αx1 (t) + βx2 (t)] = A(t)z(t), q.e.d

z (t) =

Para demostrar que la dimensión del espacio es n vamos a encontrar una base: sean {y1 , y2 , . . . , yn }
las n soluciones de los n problemas de Cauchy:
x (t) = A(t)x(t)
x(t0 ) = ei

i = 1, . . . , n

donde ei , i = 1, . . . , n son los n vectores de la
base canónica de IRn .1. Es una familia libre. Planteemos una combinación lineal de estos vectores igual a 0:
0 = α1 y1 + α2 y2 + . . . + αn yn
Para que esta igualdad entre funciones sea cierta debe serlo ∀t ∈ [a, b], en particular para t = t0 ,
es decir:
0 = α1 y1 (t0 ) + α2 y2 (t0 ) + . . . + αn yn (t0 ) = α1 e1 + α2 e2 + . . . + αn en
Como los vectores ei son libres, la única solución a la ecuación anteriores αi = 0 ∀i = 1, . . . , n,
q.e.d.
2. Es un sistema generador. Consideremos una solución cualquiera del problema homogéneo
z. Veamos que puede expresarse como combinación lineal de los vectores yk . El valor de z en
t0 podrá ser expresado como combinación lineal de los vectores de la base canónica: z(t0 ) =
z01 e1 + . . . + z0n en , donde hemos llamado z0k a la componente k-ésima de z(t0 )en la base canónica.
x (t) = A(t)x(t)
Está claro que z es solución del Problema de Cauchy
x(t0 ) = z01 e1 + . . . + z0n en
como también lo es la función z01 y1 +. . .+z0n yn , que resuelve la ecuación por ser combinación lineal
de soluciones y satisface la condición inicial. Como hemos demostrado anteriormente la unicidad
de soluciones para este problema de Cauchy debe ser, necesariamente:...