Holi : )

1.10 Calcular y=x2, y=8-x2, 4x-y+12=0

2028-2x2
28x-2x33
282-2233
643

1.11 Calcular 2y2= x+4 y x=y2

Integrando:
-22-y2+4dy -22-y2dx+ -224dy
-y33+4y-22
- 83+8-83-8
163+163
323

1.12 Calcular y-x=6, y=x3, 2y+x=0

En este caso serian 2 integrales:
026+x-x3+-406+x+x2
6x+x22-x4402+ 6x+x22+x24-40
62+42-164+-6-4+162+16410+12
22

2.-Grafique una region del plano, cuya area queda definida por:
-111-xdx

4.-Hallar el valor positivo de b para que el area de la region limitada por las curvas sea x=-y2+3y, y=x+b2-1 sea 36

Por medio del tanteo el valor debe de ser positivo y para que pueda haber interseccion
entres los puntos se toma los valores 1,2,3. por la cual tenga que salir 36-24-y2+3y-y+b2-1dy
-y33+y2+(b)2-1x-24
Con b=3
-433+16+(3)2-14-233+4+(3)2-1-2
803+283
36
12) Calcule el Volumen del solido cuya base es la región interior a la elipse x29+y24=1, y sus secciones transversales son:
12.2.) Cuadrados, perpendiculares al eje “x”.
x29+y24=1⟹y2=49-x29
Calculando el área de la sección Transversal:
Ax=2y2=4y2=169-x29 , luego el volumen es:V=203Axdx=203169-x29dx=3299x-x3303
V=32993-333-90-033=32993-333=64
12.3.) Triángulos de altura 1 con base en la región interior a la elipse, perpendiculares al eje “y”.
x29+y24=1⟹x2=91-y24⟹x2=94-y24
Calculando el Área de la sección transversal:
Ay=b.h2=12x2=x=94-y24=34-y22 , luego el volumen es:
Π40294-y24dy=Π160294-y2dy=9Π16024-y2dy
V=9Π164y-y3302=9Π1642-233-40-033=3Π
13) Halle el volumen de un sólidosi se sabe que su base es una región elíptica con la curva frontera 9x2+4y2=36, y las secciones transversales perpendiculares al eje “x” son triángulos rectángulos isósceles con la hipotenusa en la base.
9x2+4y2=36⟹y2=36-9x24
Calculando el ares de las regiones transversales:
Ax=b.h2=2y.y2=y2, luego el volumen es:
V=202Axdx=20236-9x24dx=1236x-9x3302
V=12362-9233-360-9033
V=1272-24=482=2414) Halle el volumen del solido que se genera al rotar la región limitada por:
14.1.)y=x, y=2-x, 0≤x≤1 alrededor de y=-1.
V=Π01fx-k2-fx-k2dx=Π01x+12-2-x+12dx
V=Π01x+2x+1-3-x2dx=Π01x+2x+1-9-6x+x2dx
V=Π012x-8+7x-x2dx
V= Π22x323-8x+7x22-x3301
V=Π41323-81+7122-133-40323-80+7022-033
V=Π43-8+72-13
V= 7Π2
14.2.)y=x, x=2y-y2 alrededor del eje “y”.
V=Π01fy12-fy02dy=Π01y2-2y-y22dyV=Π01y2-2y-y2dy=Π01y2-2y+y2dy=Π012y2-2ydy
V=Π2y33-2y2201=Π2133-2122-2033-2022
V=Π2133-1-2033-2022=Π23-1=Π3

15) Calcule el volumen del solido que genera la región limitada por las curvas y=2x-22, y=2x cuando rota alrededor de x=-1.
16) Una región del plano está limitada por las curvas x2+4y2=16, x2+4y2+4x=0 con y≥0. Calcule el volumen del solido de revolución que se genera al rotar la regiónalrededor de la recta y=3.
* fx1⟹x2+4y2=16⟹y2=16-x24⟹y=16-x24=16-x22
* fx0⟹x2+4y2+4x=0⟹y2=-x2-4x4⟹y=-x2-4x4=-x2-4x2

17) Calcule el volumen del solido de revolución generado por la región limitada por las curvas 4x=y2, 48-x=y2 al rotarla alrededor del eje y=4
* fy1⟹48-x=y2⟹x=-y24+8
* fy0⟹4x=y2⟹x=y24
Utilizando el Método de la Corteza Cilíndrica:
V=2Πcdc-yfy1-fy0dyV=2Π-444-y-y24+8-y24dy
V=2Π-44-42y24+32+2y34-8ydy
V=2Π-44-2y2+32+y32-8ydy
V=2Πy424-2y33-8y22+32y-44
V=2Π4424-2433-8422+324--4424-2-433-8-422+32-4
V=2Π32-1283-64+128-32-1283+64+128
V=2Π2128-21283=4Π128-1283=4Π2563
V=10243Π

18) Para la región limitada por y=1-x2, y=x2, determine el volumen del solido que genera la región al rotar alrededor del eje “x”.
* fx1⟹y=1-x2
* fx0⟹y=x2Intersección de las Funciones:
1-x2=x2⟹1=2x2⟹±12=x
Luego:
V=Πabfx12-fx02dx
V=Π-12121-x22-x22dx=Π-12121-2x2+x4-x4dx
V=Π-12121-2x2dx=Πx-2x33-1212
V=Π12-21233--12-2-1233=Π12-21233+12-21233
V=Π212-43123
19.- Calcule el volumen generado por la rotación de la región delimitada por las curvas y=x2, y=4 alrededor del eje:

19.01.- eje y

y=x2
y=x
y=f(y)

Volumen

v: π04f(y)2dy
v:...