Ido, como hacer metodo simplex

Ejemplo 1. Encontrar los extremos de la siguiente función:

fx,y,z=x+y+z
Con las siguientes restricciones:
g1x,y,z=x2+y2=2
g2x,y,z=x+z=1
Para darle solución a dicho ejercicio vamos a hacer uso de los multiplicadores de LaGrange que se expresan de la siguiente manera:
∇f(x₀ ) =λ₁∇g₁(x₀ ) +λ₂∇g₂(x₀ ) (*)
∇f= (1, 1,1) que se obtiene alderivar la función con respecto a cada variable
De la misma manera obtenemos los gradientes de las funciones g1 y g2
∇g1=2x,2y,0 ∇g2=1,0,1
Al sustituir en (*) obtenemos lo siguiente y formar el sistema de ecuaciones nos queda:
1=2λ1x+λ2 (1)
1=2λ1y (2)1=λ2 (3)
Para resolver el sistema vamos a comenzar por sustituir λ2 en (1) x=0
Y seguimos sustituyendo el valor de x en g1 y g2 para obtener de y=±22 y z=1
Ejemplo 2: Encontrar los extremos de la siguiente función:
z=6x+7y
Con las siguientes restricciones:
g1 → x+y+w=3
g2 → y+w2=2
g3→ x-v1=0g4→y-2=0

Al igual que en el problema anterior vamos a tratar de resolver este problema a partir de los multiplicadores de LaGrange en este caso la formula es la siguiente:
∇zx0=λ1∇g1 x0+λ2∇g2 x0+λ3∇g3 x0+λ4∇g4 x0
Y los siguientes son los vectores gradientes de cada restricción son:
∇z=(6, 7, 0, 0, 0, 0)
∇g1=(1, 1, 1, 0, 0, 0)
∇g2=(0, 1, 0, 1, 0, 0)
∇g3=(1, 0, 0, 0,-1, 0)
∇g4=(0, 1, 0, 0, 0,-1)
Planteando el sistema queda de la siguiente manera:
6=λ1+λ3
7=λ1+λ2+λ4
0=λ1
0=λ2
0=-λ3
0=λ4
Como podemos notar el sistema nos resulta inconsistente por lo que el ejercicio nos sirve para ejemplificar que en el caso de sistemas lineales resulta poco efectivo ocupar multiplicadores de LaGrange, por lo que este ejemplo a su ves nos sirve como una pequeña introducción a lo que es“programación lineal” ya que por la naturaleza de este tipo de problemas será el modelo que utilizaremos para darles solución.
La Programación Lineal es como ya se dijo un modelo matemático que nos va a auxiliar en este tipo de casos ya que todo aquello que se pueda plantear como un sistema de ecuaciones lineal se puede resolver de esta manera. El objetivo de la programación lineal es optimizarlos recursos para obtener la meta marcada. Una manera fácil de aplicar Programación Lineal es la siguiente:
1. Variables de decisión: son las incógnitas del modelo
2. Función objetivo: se define a partir de las variables de decisión, es la abstracción de la meta a alcanzar.
3. Restricciones: son las limitaciones con las que cuentan las variables especificadas en el modelo, estas serepresentan mediante funciones (desigualdades en la mayoría de los casos)
Dentro de las características propias de la Programación Lineal están:
i. El costo total es siempre la suma de los costos parciales (aditividad).
ii. No existen precios de mayoreo (proporcionalidad).
iii. Divisibilidad
A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo aplicar PL con algunos casos sencillos yprácticos.
1. Pinturas AC produce pinturas para exteriores e interiores, la siguiente tabla proporciona datos básicos sobre el problema.
Materia prima | Pinturas exteriores (tons.) | Pinturas interiores (tons.) | Disponibilidad máxima diaria (tons.) |
M1 | 6 | 4 | 24 |
M2 | 1 | 2 | 6 |
Utilidad | 5 | 4 | 30 |
Una encuesta de mercado indicaque la demanda diaria de pintura interior no puede ser mayor a una tonelada diaria que para exterior. También que la demanda máxima de pintura para interiores es de dos toneladas. AC desea determinar la mezcla óptima que maximiza la utilidad diaria total.
Para plantear este problema vamos a seguir los tres pasos indicados arriba.
1. Variables
x1= toneladas de pintura para interior....