Independencia De Trayectoria

C´alculo II: Integrales de l´ınea:
Independencia de la trayectoria, diferenciales

Prof Jes´us Hern´andez Trujillo

Facultad de Qu´ımica, UNAM

1.

Independencia de la trayectoria

Consid´erese la integral de l´ınea σ F¯ · d¯r, sobre la trayectoria σ de un campo
vectorial F¯ = (f1, f2) que se obtiene del gradiente de un campo escalar, F¯ =
∇φ(x, y). Se dice que F¯ es un campoconservativo. En tal caso:

y por lo tanto:

F¯ =

∂φ ∂φ
,
∂x ∂y

σ

F¯ · d¯r =

t2

t1

∂φ ∂φ
,
∂x ∂y

·

dx dy
,
dt dt

dt

=

t2

t1

∂φ dx
∂x dt

+

∂φ dy
∂y dt

dt

=

t2 d
t1 dt

{φ[x(t), y(t)]} dt

= φ[x(t2), y(t2)] − φ[x(t1), y(t1)]

Es decir, la integral de l´ınea es independiente de la trayectoria.
Otra manera de expresar este resultadoes: la integral

σ

[f1dx + f2dy]

es independiente de la trayectoria si y s´olo si existe φ(x, y) tal que

f1(x, y) =

∂φ
∂x

,

f2(x, y) =

∂φ
∂y

De aqu´ı se obtiene:

∂f1
∂y

=

∂f2
∂x

De forma gr´afica, las integrales de l´ınea del campo conservativo F¯ desde el
punto A al punto B sobre las trayectorias σ1 y σ2 son iguales:

1

y

B

σ1

F¯ · d¯r = σ2 F¯· d¯r

σ2

σ1

cuando F¯ es conservativo

A

x

Tambi´en es posible realizar la integral pero ahora sobre la trayectoria cerrada
compuesta por los segmentos AB sobre σ1 y BA sobre σ2, este u´ltimo en el sentido
contrario al indicado en la figura anterior:

F¯ · d¯r =

σ1

F¯ · d¯r −

σ2

F¯ · d¯r = 0

Es decir, la integral de l´ınea de un campo conservativo sobre unatrayectoria
cerrada es igual a cero.
Este mismo an´alisis tambi´en es aplicable al caso de campos vectoriales conser-
vativos en ℜ3, F¯ = (f1, f2, f3).

En resumen, F¯ es conservativo cuando:

1.

2.

F¯ · d¯r es independiente de la trayectoria.

F¯ · d¯r = 0

3. ∃φ tal que F¯ = ∇φ

4. ∇ × F¯ = ¯0

2.

2.1.

Diferenciales

Diferencial total

La diferencial total de z = φ(x,y) se define por

dφ =

∂φ
∂x

dx +

∂φ
∂y

dy

donde dx y dy son las diferenciales de x y y, respectivamente, e indica cu´al es
el efecto que tienen sobre la variable dependiente cambios infinitesimales en las

2

variables independientes. Ese efecto depende de la relaci´on funcional entre las
variables y del valor (x, y) en que se eval´ue. En el caso de una funci´on de m´asvariables la extensi´on es directa.

N´otese que dφ tambi´en puede escribirse como

dz =

∂φ
∂x

dx +

∂φ
∂y

dy =

∂φ ∂φ
,
∂x ∂y

· (dx, dy) = ∇φ · dr¯

Ejemplos:

2 2 2

2. Encuentra la diferencial total de w = ln (uv/[s + t]).

2.2.

Diferenciales exactas e inexactas

A continuaci´on se defineuna variable infintesimal en dos variables:

ω(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy .

Se trata de una variable infinitesimal porque involucra a los elementos dx y dy.
Una pregunta de inter´es es si existe un campo escalar φ(x, y) tal que ω = dφ, es
decir, si ω es la diferencial total de un campo escalar en dos variables. En tal caso,
se dice que ω es una diferencial exacta; en el contrario, que nolo es.
Cuando ω es una diferencial exacta, se cumple que

ω = dφ =

∂φ
∂x

dx +

∂φ
∂y

,

y por lo tanto:

P (x, y) =

∂φ
∂x

Q(x, y) =

∂φ
∂y

.

Adem´as, como las derivadas iteradas son iguales,

∂ 2 φ
∂y∂x

=

∂ 2 φ
∂ x∂ y

,

entonces

∂P
∂y

=

∂Q
∂x

.

3

1. La diferencial total de z = e−x+y es dz = −e−x+y dx + 2ye−x+y dy.

En elcaso de tres variables,

ω = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

es una diferencial exacta si y s´olo si

∂P
∂y

=

∂Q
∂x

,

∂P
∂z

=

∂R
∂x

,

y

∂Q
∂z

=

∂R
∂y

.

Estas expresiones se conocen como relaciones de Maxwell y son de particular
importancia en termodin´amica.

Cuando P (x, y)dx + Q(x, y)dy + R(x, y)dz es una diferencial exacta la...