Indices De Miller

Indices de Miller
Puntos, direcciones y planos en la celda unitaria
Coordenadas de puntos
Son los puntos coordenados en la celda unitaria que indican la
posición de los átomos.
Direcciones de una celda unitaria
Son vectores unitarios que indican la posición de los átomos. Se
determinan utilizando una notación llamada índices de Miller, se
identifica con las letras h, k, l

Indices de MillerForma para determinar los índices de Miller en el sistema ortogonal
Usar el sistema coordenado de la mano derecha, determinar las
coordenadas de 2 puntos que se encuentren en la dirección.
Realizar la resta entre los dos puntos (cabeza con cola)
Eliminar las fracciones y/o reducir fracciones a los enteros mínimos.
La dirección se representa entre corchetes. Ej: [1 1 1]

Indices de MillerConsideraciones a tener en cuenta en los índices de Miller para las
direcciones.
Las direcciones son vectores, una dirección y su negativa no son
idénticas. La dirección [100] es diferente a la dirección [-100].
Una dirección y su múltiplo son idénticos.
La dirección [100] es idéntica a [200],
Ciertos grupos de direcciones son equivalentes, tienen su índices
particulares dependiendo de la forma en que sedefinen las coordenadas
y su origen. Ej. [100] = [010]
De acuerdo a lo anterior existen familias de direcciones:
<100> = [110]
[101]
[011]
[1-10]
[10-1]
[0-1-1]

[-1-10]
[-10-1]
[0-1-1]
[-110]
[-101]
[0-11]

Indices de Miller
Planos en la celda unitaria
Para identificar los planos se utilizan los índices de Miller de la siguiente
forma:
1.Identificar los puntos en donde el plano cruza los ejes x,y, z. Si el plano
pasa por el origen del sistema de coordenadas. Este se debe mover.
2.Sacar los recíprocos de las intersecciones
3.Simplificar las fracciones, NO reducir a enteros mínimos.
4.Encerrar entre paréntesis el resultado.
Consideraciones
1. Los planos y sus negativos son idénticos (diferente a las direcciones).
Ej. (020) = (0-20)
2.Los planos y sus múltiplos no son idénticos.
3. En lossistemas cúbicos, una dirección que tiene los mismos índices
que un plano es perpendicular a ese plano.

Ejes x, y, z
[1-21]
(-210)
(110)

(120)

(0-20)

Indices de Miller
Indices de Miller para la estructura cristalina hexagonal compacta (HC)
Una forma mas sencilla de representar los indices de Miller para la
estructura HC, es realizar una transformacion a ejes hexagonales.
Este sistemacoordenado tiene cuatro ejes.
C
a3

a2

a1

Indices de Miller
Las direcciones en el sistema HC utiliza tres el sistema de 3 ejes.
El procedimiento para determinar los indices de planos es igual que en el
sistema de tres ejes, con la salvedad que requiere de 4 intersecciones,
obteniendo indices de la forma (h i k l).
h, i, k corresponden a las intersecciones de a1, a2 y a3.
Las direcciones se indicancon el sistema de 3 o 4 ejes.
Conversión de tres ejes a cuatro

1
h  ( 2h '  k ' )
3
1
k  ( 2k '  h ' )
3
1
i 
(h '  k ' )
3
l l '

Determinación de los índices de Miller en la red HC
Planos
1.Determinar las intersecciones de los ejes.
2.Determinar los inversos de cada intersección
3.Simplificar fracciones
Direcciones
1.Determinar dos puntos de la dirección
2.Restar cabeza con cola3.Simplificar fracciones

Direcc
ion

1

Plano A
Intersecciones
a1=a2=1, a3= -1/2, c=1
Inversos
a1-1=a2-1, a3-1=-2, c-1=1
Indices Miller plano
(11-21)

Plano A

Direccion 1
Dos puntos: 0 0 1, 100
0 0 1 – 1 0 0 = -1 0 1
No hay fracciones reducir
[-101]
h= 1/3(2*1-) –(0) = 2/3
K= 1/3(2*0)-(-1)=1
i=-1/3(-1+1)=1/3

Tabla de direcciones y planos compactos
Estructura
SC
BCC
FCC
HCP

Direcciones
<100>
<111><110>
<100>, <110> 0 <11-20>

Planos
Ninguno
Ninguno
{111}
(0001), (0002)

Comportamiento isotrópico y anisotrópico
Material anisostrópico:
Variación de las propiedades en la direcciones cristalográfica.
Material isotrópico:
Material que presenta las mismas propiedades en todas las direcciones
cristalográficas.
Ej: Módulo de Young o rigidez(E) del aluminio
<111> =75.9 Gpa
<100> = 63.4 Gpa

Sitios...