Induccion Matematicas II

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CAIPIITIUILO
IIINIIOIIJJCCIIOINI
Introducción

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mAlEMJMUCA

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Se denomina inducción todo razonamiento que comprende et poso de proposiciones particulares a generales eon la particularidad de que lo v a l i d e z de los
últimos se deduce de lo validez de los primeros. El método de inducción m a temático es un método especial de demostración matemática que permite, o b a se deobservaciones particulares, juzgar de los regularidades generales correspondientes.
Paro aclarar la ideo consideramos el ejemplo siguiente :
Determ ínese la sumo de los n-primeros números impares :
1 + 3 + 5 + . . . + ( 2n - 1 )
Seo S(n) la suma de éstos n-números.
tenemos :
S ( l ) = 1,
S(2) - 1 + 3 =
S(3) = 1 + 3 +
S(4) = 1 + 3 +
S(5) = 1 + 3 +

Tomemos n = 1 , 2 , 3 , 4 y 5 ;

4
5 = 9
5 + 7 = 16 y
5 +7 + 9 = 25

Como se ve p o r o n = 1 , 2 , 3, 4 y 5 la suma de n números impares sucesivos
es igual o r r , ¿Podemos socor de aquí inmediotomenle lo conclusión de que
esto tiene lugar paro todo n ? N o , pues se.-nejonte conclusión "por anoíogío"
puede resu I tor o veces errónea .
Veamos algunos ejemplos
Consideremos los números de tipo 2

Ai

2"

+ 1.

Poro n = O, 1, 2 , 3 , y 4

los

números 2 ^+ 1 = 3 , 2 ^ + 1 = 5 , 2^+ 1 = 17, ^ + 1 = 257; 2^+ 1 = 65537 son
primos .
P.Fermat ilustre matemático francés del siglo X V I I , aceptaba que todos los númemeros de este tipo son primos. Sin embargo, L.Euler eminente sabio y académico
de Son Petersburgo, encontró en eí siglo X V I I qus ^ j j
es un número co.mpuesto .

^ . 4 2 9 4 9 6 7 2 9 7 = 641x6700417

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He a q u í otro ejemplodel mismo género G . W . Leibniz famoso matemático a l e mán del siglo X V I I y uno de los fundadores de los "Matemáticos Superiores" ,
demostró que cualquiera que seo el entero positivo n, el número n - n es d i v i sible por 3 , el número n - n es divisible po"- 5 y el número n ~n es divisible
por 7 .
De a q u í supuso que paro todo k impar y cualquier número natural n
ei número n - n esdivisible por k ; pero pronto observó que 2 9 - 2 = 5 1 0 no es
divisible por 9 .
Un error del mismo carácter cometió D . A . G r a v e , conocido matemático s o v i é t i c o , a l suponer que poro todo primo p el número 2P~ - 1 no es d i v i s i b l e por p^ ,
El c á i c uJIO directo confirmaba esta hipótesis pora todos los números p menores
que m i l . Sin embargo, pronto se comprobó que 2
- 1 esdivisible por 1093 '
( 1093 es un número primo ); o sea , lo hipótesis de Grave resultó errónea.
o
Veamos otro ejemplo muy instructivo.
Sustituyendo n en la expresión991 n +1
por los número enteros sucesivos 1 , 2 , 3 , . . , , jamás obtendremos el cuadrado de
un número por rrujchos días ó inclusive por años que dediquemos o e l l o .
Sin embargo, serio erróneo deducir de a q u í que ningún número deeste tipo es
un cuadrado, pues, en r e a l i d a d , entre los números de tipo 9 ? l n +1 también
hoy cuadrados; pero es muy grande el valor mínimo de n para el cual es vn c u a drado ei número 991 n + 1 .
He aquí este número :
n = 12055735790331359447442538767
Todos estos ejemplos deben prevenir ai lector contra las deducciones
gía no argumentados .
Volvamos ahora ol problema sobre lo sumo deEstá c l a r o de lo anterior que por muchos que
ra los cuales hayamos co.-nprobado la fórmula
por demostrada pues siempre quedará el temor
de los cosos no analizados .

por onolo-'

ios n primeros números impores ,
sean los primeros valores de n p o S(n) = n (1) , no podemos doria
de que deje de ser v a l i d a en algunos

Paro convencerse de que lo fórmula ( 1 ) es válida paro todos los n , espreciso
demostrar q u e , por mucho que avancemos en la serie numérica n a t u r a l , jamás
podremos pasar de volores de n que aún verifican la fórmula ( 1 ) o valores de
n que ya no lo verifican .
Supongamos, pues, que nuestra fórmula es válido poro un número n y tratemos

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de demostrar que también será v á l i d o poro el número siguiente n + 1 .
aceptamos que
^
S(n) = 1 + 3 + 5 + . . . +...