Inferencia bayasiana para datos normales

2.3. An´lisis bayesiano para datos normales a

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2.3.

An´lisis bayesiano para datos normales a

Otra de las situaciones m´s frecuentes en la pr´ctica estad´ a a ıstica es aquella en la que nos encontramos con datos que provienen de una poblaci´n Normal. Esta o situaci´n tan frecuente introduce un grado de complejidad superior al que hemos o visto en las secciones anteriores perotambi´n puede ser resuelto de forma inmediae ta bajo la perspectiva bayesiana. Esta complejidad viene determinada por el hecho de que podemos considerar al problema de la inferencia en poblaciones normales como un problema con dos par´metros de inter´s. Por ejemplo, supongamos el a e caso m´s sencillo de una observaci´n muesral x|µ, σ 2 ∼ N (µ, σ 2 ), y por lo tanto el a o par´metro de inter´s es (µ, σ 2). En tal caso, la distribuci´n a posteriori conjunta a e o se deduce tambi´n del Teorema de Bayes e π(µ, σ 2 |x) ∝ L(x|µ, σ 2 ) · π(µ, σ 2 ), y por tanto la densidad a priori habr´ de ser asignada para el par´metro conjunto a a (µ, σ 2 ). Las densidades a posteriori de cada una de los par´metros (marginales) se a obtiene entonces de la a posteriori conjunta sin m´s que considerar a
+∞

π(µ|x)=
0

π(µ, σ 2 |x)dσ 2 =
0 +∞ −∞

+∞

π(µ|σ 2 , x)π(σ 2 |x)dσ 2 ,
+∞

(2.25) (2.26)

π(σ 2 |x) =

π(µ, σ 2 |x)dµ =

π(σ 2 |µ, x)π(µ|x)dµ,

−∞

Observemos que el c´lculo de las marginales puede por tanto hacerse directaa mente de la conjunta o bien como una mixtura de las distribuciones condicionadas a posteriori. En general por tanto, nos encontramos con una muestra aleatoriasimple de una poblaci´n normal x = (x1 , ..., xn ) ∼ N (µ, σ 2 ), en tal caso la verosimilitud de o los datos tendr´ la expresi´n a o L(x|µ, σ 2 ) = (2π)−n/2 (σ 2 )−n/2 exp − 1 2
n i=1 (xi σ2

− µ)2

.

(2.27)

Frecuentemente en el an´lisis bayesiano suele utilizarse el par´metro τ dea a nominado precisi´n en lugar de la varianza, pues interpreta de forma directa la o 1 dispersi´n de unavariable aleatoria ya que viene definido por τ = 2 , en t´rminos o e σ de µ y τ la verosimilitud anterior puede reescribirse como L(x|µ, τ ) = (2π)−n/2 (τ )n/2 exp − τ 2
n

(xi − µ)2
i=1

.

(2.28)

Mediante diferentes situaciones que paulatinamente ir´n incrementando el graa do de complejidad resolveremos este modelo.

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Inferencia bayesiana

2.3.1.

Caso de media desconociday varianza conocida: an´lia sis conjugado

Consideremos una primera situaci´n en la que la varianza σ 2 es conocida y que o por tanto, el unico par´metro desconocido ser´ la media µ, sobre la que deseamos ´ a a hacer inferencia. La verosimilitud (2.28) tendr´ ahora la expresi´n a o L(x|µ) ∝ exp − 1 2
n i=1 (xi σ2

− µ)2

,

(2.29)

donde hemos prescindido (en t´rminos deproporcionalidad) de la parte conocida e (recordemos que aqu´ σ 2 es conocida). ı El unico par´metro a estimar en este modelo ser´ la media de la distribu´ a a ci´n normal. Consideremos para este caso, una densidad a priori para µ del tipo o 2 2 N (µ0 , σ0 ) con µ0 , σ0 conocidos, es decir, π(µ) ∝ exp − 1 (µ − µ0 )2 2 2 σ0 (2.30)

Teorema 2.3 Para el caso de verosimilitud Normal con varianza σ 2 conocida, 2con densidad a priori π(µ) de tipo N (µ0 , σ0 ) se tiene que la densidad a posteriori es tambi´n Normal con par´metros a posteriori e a E(µ|x) = µ0 ·
2 (σ0 )−1 2 (σ0 )−1 + (σ 2 /n)−1

+x· ¯

2 (σ0 )−1

2 (σ1 )−1 + (σ 2 /n)−1

(2.31)

1 (2.32) + n(σ 2 )−1 Adem´s la distribuci´n predictiva de una futura observaci´n es tambi´n de tipo a o o e Normal. Var(µ|x) =
2 (σ0 )−1

Demostraci´n: Enefecto realizando el producto de (2.29) con (2.30) tenemos: o π(µ|x) ∝ exp − ∝ exp − ∝ exp − 1 2 1 2
n i=1

1 2

n i=1 (xi σ2

− θ)2
n i=1

· exp − +

1 (µ − µ0 )2 2 2 σ0

∝

x2 − 2µ i σ2

xi + nµ2

µ2 − 2µµ0 + µ2 0 2 σ0

n 1 1 (µ − µ1 )2 n¯ µ0 x + 2 +µ + ∝ exp − . 2 σ2 σ0 σ σ0 2 σ1 ¯ Observemos adem´s que X ∼ N (µ, σ 2 /n), luego para la distribuci´n predictiva a o de...