Inferencia en el modelo clasico

TEMA 1

INFERENCIA EN EL MODELO CLÁSICO

Carla Rey

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1.1. INTRODUCCIÓN DE LA HIPÓTESIS DE NORMALIDAD RECORDAMOS QUE los valores numéricos que se obtienen con los estimadores MCO, que se han estudiado en el primer cuatrimestre, no son más que estimaciones puntuales de LOS PARÁMETROS, que SIGUEN SIENDO DESCONOCIDOS. PERO DADAS LAS ESTIMACIONES, PUEDEN CONOCERSE ALGUNASCARACTERÍSTICAS DE LOS VERDADEROS VALORES DE LOS PARÁMETROS utilizando las técnicas de inferencia estadística. Para aplicarlas es necesario conocer la distribución de probabilidad que siguen los estimadores, que son variables aleatorias porque dependen de las perturbaciones.
b = (X ′X)−1 X ′Y = (X ′X)−1 X ′(Xβ + ε) = (X ′X)−1 X ′Xβ + (X ′X)−1 X ′ε = β + (X ′X)−1 X ′ε
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Por eso esnecesario incorporar en el modelo una nueva hipótesis, que le asigne al término de perturbación una distribución de probabilidad conocida. La perturbación recoge la suma de los efectos de múltiples factores, individualmente insignificantes, que conjuntamente influyen en el valor que toma el regresando. Si se asume que dichos factores son variables aleatorias independientes, la perturbación es una sumade variables aleatorias independientes. El teorema central del límite demuestra que, en general, y con muy pocas excepciones, la suma de variables aleatorias independientes tiende a la distribución normal. Con base en este teorema PUEDE ASUMIRSE, por tanto, QUE LAS PERTURBACIONES TIENEN DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD NORMALES.
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Se supone, entonces, que las perturbacionesse distribuyen normalmente. A un modelo clásico en el que se introduce la hipótesis adicional de distribución normal de los términos de perturbación se le denomina Modelo de Regresión Lineal Normal Clásico (MRLNC). En este modelo, εt → N(0, σ2), puesto que las hipótesis de esperanza matemática nula y homocedasticidad se mantienen. Se mantiene también la hipótesis de incorrelación, luego en elMRLNC las perturbaciones son variables aleatorias normales e incorrelacionadas y, por tanto, independientemente distribuidas. No existe error de especificación ni de medida y los regresores son variables no estocásticas entre las que no existen relaciones lineales exactas, siendo el tamaño de la muestra mayor que el número de parámetros, que se suponen constantes.
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Un vectorcuyos elementos son variables aleatorias normales es un vector aleatorio normal. Luego, en el MRLNC, ε → N(0, σ2I). Además, no existe error de especificación ni de medida, X es una matriz no estocástica, con rango igual a su número de columnas, que es estrictamente menor que su número de filas y los elementos del vector de parámetros se mantienen constantes. La introducción de la hipótesis denormalidad permite deducir las distribuciones de probabilidad de la SCE y de los EMCO con las que se definen los estadísticos adecuados para la inferencia. Permite además demostrar que los EMCO, que son los ELIO de los parámetros, son eficientes en sentido absoluto y también los estimadores máximo verosímiles (EMV).
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Si se asume el supuesto de distribución normal para laperturbación aleatoria, también se asume para el vector Y.

ε → N (Eε = 0, V(ε) = σ 2IT ) Y → N(EY = Xβ, V(Y) = V(ε) = σ 2IT )
El vector b es función lineal de Y, por tanto, b es función lineal de ε

b = β + (X ′X)−1 X ′ε
b → N(Eb = β, V(b) = σ 2 (X ′X)−1)

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Bajo las hipótesis del MRLNC, la SCE puede expresarse como la suma de los cuadrados de T-k-1 variablesnormales e independientes, con esperanza matemática nula y varianza igual a σ2. Por tanto, la SCE se distribuye como el producto de dicha varianza por una variable aleatoria χ2 con T-k-1 grados de libertad.
SCE σ 2 χ 2 −k −1 T s2 = → T − k −1 T − k −1

s2 χ 2 −k −1 T → σ2 T − k −1

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ESTIMACIÓN MAXIMOVEROSIMIL Bajo las hipótesis del MRLNC se demuestra que los EMCO, que...